الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري يملك رقماً واحداً غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le |a| < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبي.

التبرير العلمي:

نكتب العدد $32.7$ على الشكل العلمي أولاً:

ثم نعوّض في العبارة الأصلية:

الاختيار الصحيح هو الجواب 3: $3.27 \times 10^{-3}$.

لتبسيط جدر تربيعي على الشكل $\sqrt{a}$، نكتب العدد $a$ على شكل جذاء عددين أحدهما أصلح لأن يكون مربعاً تاماً بأكبر قيمة ممكنة.

التبرير العلمي:

فكّ العدد 200 إلى جذاء جُزء منه مربع تام:

الاختيار الصحيح هو الجواب 1: $10\sqrt{2}$.

المعادلة من الشكل $X^2 = b$ (حيث $b > 0$) تقبل حلين هما $X = \sqrt{b}$ أو $X = -\sqrt{b}$.

التبرير العلمي:

بما أن $25 > 0$، فإن للمعادلة حلين:

1. الحل الأول:

2. الحل الثاني:

الاختيار الصحيح هو الجواب 2: $-1 \text{ و } 9$.

تنبيه هام جداً: الجذر التربيعي لا يتوزّع على الجمع! أي أن $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. يجب حساب ما داخل الجذر أولاً.

التبرير العلمي:

نحسب أولاً مجموع ما تحت الجذر:

ثم نبسط الناتج:

الاختيار الصحيح هو الجواب 3: $2\sqrt{5}$.

جيب تمام أي زاوية حادة $\theta$ ينحصر دوماً وبشكل صارم بين 0 و 1، أي: $0 < \cos(\theta) < 1$. إذا كان العدد أكبر من 1 أو أقل من 0، فلا يمكن أن يكون جيب تمام زاوية حادة.

التبرير العلمي:

نبسط العدد المعطى:

نعلم أن $13 > 9$، وبإدخال الجذر التربيعي للطرفين نجد:

وبقسمة الطرفين على 3 نجد:

بما أن قيمة العدد أكبر تماماً من 1، فإنه يستحيل أن تكون جيب تمام زاوية حادة.

الاختيار الصحيح هو الجواب 2: لا.

ليكن العددين:

نحلل الأعداد داخل الجذور بدلالة العدد 3:

نعوض في العبارة $A$:

بأخذ $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

العبارة $B$ تُكتب على شكل متطابقة شهيرة من الشكل $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

نحسب مربع كل حد:

إذن:

نعوض قيمتي $A$ و $B$:

لتنطيق المقام، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

المعطيات: $RST$ مثلث قائم في $T$، فيه: $ST = 3.5 \text{ cm}$ و $\sin(\widehat{SRT}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

في أي مثلث قائم، تطبق العلاقة الأساسية للحساب المثلثي: $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

حساب $\cos(\widehat{SRT})$:

بما أن جيب التمام عدد موجب دوماً للزوايا الحادة:

القيمة المضبوطة هي: $\cos(\widehat{SRT}) = \frac{1}{2}$ (أو $0.5$).

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{SRT}$:

باستعمال الحاسبة ($\text{Shift} + \cos(0.5)$) أو من الزوايا الشهيرة المعلومة:

الزاوية الحادة التي جيب تمامها يساوي $\frac{1}{2}$ وجيبها يساوي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ هي:

في المثلث القائم $RST$ في $T$، النسبة المثلثية للجيب تعبر عن:

نعوض المعطيات:

باستعمال الرابع المتناسب:

لتنطيق المقام (كتابته بأبسط شكل جذري مضبوط):

القيمة المضبوطة للطول $RS$ هي:

المعطيات:

في المثلث $RNT$ القائم في $R$، نطبق خاصية فيثاغورس:

نعوض الأطوال المعلومة:

أخذ الجذر التربيعي الموجب:

لإثبات توازي مستقيمين باستعمال الخاصية العكسية لفيثاغورس/طالس، يجب التأكد من:

1. تساوي النسبتين المقارنتين.

2. ترتيب النقاط على المستقيمين المتطابقين.

أولاً، نحسب الطول $RB$:

النقاط $R, B, T$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب:

ثانياً، نقارن النسبتين $\frac{RA}{RN}$ و $\frac{RB}{RT}$:

نلاحظ أن:

بما أن النسبتين متساويتان، والنقاط $R, A, N$ و $R, B, T$ استقامية وفي نفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طالس، فإن المستقيمين $(AB)$ و $(NT)$ متوازيان.

المستقيمان $(AB)$ و $(NT)$ متوازيان: $(AB) \parallel (NT)$.