📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 109 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (04 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1053 و 325: PGCD(1053,325)\text{PGCD}(1053, 325)

💡إضاءة وتنبيه:
نعتمد على خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأدق لحساب القاسم المشترك الأكبر للأعداد الكبيرة.

تطبيق خوارزمية إقليدس:

1053=325×3+781053 = 325 \times 3 + 78
325=78×4+13325 = 78 \times 4 + 13
78=13×6+078 = 13 \times 6 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 1313، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(1053,325)=13\text{PGCD}(1053, 325) = 13

2) كتابة الكسر 3251053\frac{325}{1053} على شكل كسر غير قابل للاختزال

لقسمة الكسر على القاسم المشترك الأكبر لبسطه ومقامه:

3251053=325÷131053÷13=2581\frac{325}{1053} = \frac{325 \div 13}{1053 \div 13} = \frac{25}{81}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر الغير قابل للاختزال هو:

3251053=2581\frac{325}{1053} = \frac{25}{81}

3) إيجاد قيمة xx حيث x2=3251053x^2 = \frac{325}{1053}

نعوض الكسر بالكسر المختزل:

x2=2581x^2 = \frac{25}{81}

بما أن 2581>0\frac{25}{81} > 0، فإن للمعادة حلين متعاكسين هما:

x=2581=2581=59x = \sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}

أو

x=−2581=−59x = -\sqrt{\frac{25}{81}} = -\frac{5}{9}
✅الإجابة النموذجية:

قيم xx التي تحقّق المعادلة هي:

x=59أوx=−59x = \frac{5}{9} \quad \text{أو} \quad x = -\frac{5}{9}
📌

التمرين الثاني (04 نقاط)

لتكن الأعداد:

A=80,B=245,C=1+5A = \sqrt{80}, \quad B = 2\sqrt{45}, \quad C = 1 + \sqrt{5}

1) كتابة العدد A+BA + B على شكل a5a\sqrt{5} حيث aa عدد طبيعي

تبسيط AA:

A=80=16×5=16×5=45A = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}

تبسيط BB:

B=245=29×5=2×35=65B = 2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \times 5} = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}

حساب المجموع A+BA + B:

A+B=45+65=(4+6)5=105A + B = 4\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = (4 + 6)\sqrt{5} = 10\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
A+B=105حيث a=10A + B = 10\sqrt{5} \quad \text{حيث } a = 10

2) تبيان أن A×BA \times B عدد طبيعي

A×B=(45)×(65)=(4×6)×(5×5)A \times B = (4\sqrt{5}) \times (6\sqrt{5}) = (4 \times 6) \times (\sqrt{5} \times \sqrt{5})
A×B=24×5=120A \times B = 24 \times 5 = 120
✅الإجابة النموذجية:
A×B=120(120∈N)A \times B = 120 \quad (120 \in \mathbb{N})

إذن، الحاصل A×BA \times B هو عدد طبيعي.

3) كتابة C5\frac{C}{\sqrt{5}} على شكل نسبة مقامها عدد ناطق

نعوض قيمة C=1+5C = 1 + \sqrt{5}:

C5=1+55\frac{C}{\sqrt{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}}

نضرب كل من البسط والمقام في 5\sqrt{5}:

C5=(1+5)×55×5=1×5+5×55=5+55\frac{C}{\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5} + \sqrt{5} \times \sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5} + 5}{5}
✅الإجابة النموذجية:
C5=5+55\frac{C}{\sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{5}
📌

التمرين الثالث (04 نقاط)

الشكل يتضمن المثلث ERNERN حيث: EN=9 cmEN = 9\text{ cm}، RN=10.6 cmRN = 10.6\text{ cm}، ENR^=60∘\widehat{ENR} = 60^\circ، والارتفاع المتعلق بـ [RN][RN] يشكل مثلثاً قائماً EANEAN في AA.

المستقيم الموازي لـ (EN)(EN) والمار بالنقطة AA يقطع [RE][RE] في النقطة TT.

1) تبيان أن AN=4.5 cmAN = 4.5\text{ cm} ثم استنتاج الطول ARAR

في المثلث EANEAN القائم في AA:

cos⁡(ENR^)=المجاورالوتر=ANEN\cos(\widehat{ENR}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AN}{EN}

نعوّض بالقيم المعطاة:

cos⁡(60∘)=AN9  ⟹  0.5=AN9\cos(60^\circ) = \frac{AN}{9} \implies 0.5 = \frac{AN}{9}
AN=9×0.5=4.5 cmAN = 9 \times 0.5 = 4.5\text{ cm}

استنتاج الطول ARAR:

بما أن النقطة AA تنتمي إلى القطعة [RN][RN]:

AR=RN−AN=10.6−4.5=6.1 cmAR = RN - AN = 10.6 - 4.5 = 6.1\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
AN=4.5 cm,AR=6.1 cmAN = 4.5\text{ cm}, \quad AR = 6.1\text{ cm}

2) حساب الطول TATA (مع تدوير النتيجة إلى 0.010.01)

في المثلث RENREN، لدينا:

النقطة TT تنتمي إلى [RE][RE]
النقطة AA تنتمي إلى [RN][RN]
المستقيمان (TA)(TA) و (EN)(EN) متوازيان (TA)∥(EN)(TA) \parallel (EN)

حسب خاصية طاليس:

RARN=RTRE=TAEN\frac{RA}{RN} = \frac{RT}{RE} = \frac{TA}{EN}

نأخذ النسبتين المعلومتين:

6.110.6=TA9\frac{6.1}{10.6} = \frac{TA}{9}
TA=6.1×910.6=54.910.6≈5.1792...TA = \frac{6.1 \times 9}{10.6} = \frac{54.9}{10.6} \approx 5.1792...
✅الإجابة النموذجية:

بتدوير النتيجة إلى 0.010.01 نجد:

TA≈5.18 cmTA \approx 5.18\text{ cm}
📌

الجزء الثاني (08 نقاط)

📌

الوضعية الإدماجية

المشهد الأول: منافسة التزحلق على الثلج

1- حساب قيس زاويّة الصعود α\alpha:

في المثلث ABCABC القائم في CC:

sin⁡(α)=المقابلالوتر=BCAB\sin(\alpha) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AB}

نعوض بالأطوال:

sin⁡(α)=3570=0.5\sin(\alpha) = \frac{35}{70} = 0.5

باستعمال الحاسبة (sin⁡−1(0.5)\sin^{-1}(0.5)):

✅الإجابة النموذجية:
α=30∘\alpha = 30^\circ

2- حساب البعد بين مكان سقوط الزلاجة والنقطة AA (الطول ACAC) بـ 3 طرق مختلفة:

علمنا أن α=30∘\alpha = 30^\circ.

الطريقة 1: باستعمال خاصية فيثاغورس في المثلث القائم ABCABC
AB2=AC2+BC2  ⟹  702=AC2+352AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 70^2 = AC^2 + 35^2
4900=AC2+1225  ⟹  AC2=4900−1225=36754900 = AC^2 + 1225 \implies AC^2 = 4900 - 1225 = 3675
AC=3675≈60.62 mAC = \sqrt{3675} \approx 60.62\text{ m}
الطريقة 2: باستعمال جيب تمام الزاوية cos⁡(30∘)\cos(30^\circ)
cos⁡(30∘)=ACAB  ⟹  AC=AB×cos⁡(30∘)=70×0.8660=60.62 m\cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \times \cos(30^\circ) = 70 \times 0.8660 = 60.62\text{ m}
الطريقة 3: باستعمال ظل الزاوية tan⁡(30∘)\tan(30^\circ)
tan⁡(30∘)=BCAC  ⟹  AC=BCtan⁡(30∘)=350.57735≈60.62 m\tan(30^\circ) = \frac{BC}{AC} \implies AC = \frac{BC}{\tan(30^\circ)} = \frac{35}{0.57735} \approx 60.62\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

بالتدوير إلى الوحدة:

AC≈61 mAC \approx 61\text{ m}

3- مساعدة سمير في معرفة ارتفاع المنصة EDED:

المستقيمان (BC)(BC) و (ED)(ED) عموديان على نفس المستقيم (AD)(AD)، إذن هما متوازيان: (BC)∥(ED)(BC) \parallel (ED).

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث ADEADE:

ABAE=BCED\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{ED}

نعوض بالأطوال المعلومة:

70110=35ED\frac{70}{110} = \frac{35}{ED}
ED=110×3570=385070=55 mED = \frac{110 \times 35}{70} = \frac{3850}{70} = 55\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

ارتفاع المنصة عن الأرض هو:

ED=55 mED = 55\text{ m}

المشهد الثاني: صيد طائر السُّمان

1) استنتاج الطول EFEF:

يمثل الطول EFEF فرق الارتفاع بين المنصة/الشجرة ومستوى عين الصائد/السيارة:

EF=20.7 m−2.2 m=18.5 mEF = 20.7\text{ m} - 2.2\text{ m} = 18.5\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:
EF=18.5 mEF = 18.5\text{ m}

2) تبيان هل مدى رمي أيوب مناسب لإصابة هذا الطائر:

مدى البندقية المستعملة هو 50 m50\text{ m}. لحساب المسافة الفاصلة بين أيوب والطائر (الوتر FGFG في المثلث القائم FEGFEG عند EE):

لدينا الزاوية EGF^=24∘\widehat{EGF} = 24^\circ والضلع المقابل EF=18.5 mEF = 18.5\text{ m}:

sin⁡(24∘)=EFFG  ⟹  FG=EFsin⁡(24∘)\sin(24^\circ) = \frac{EF}{FG} \implies FG = \frac{EF}{\sin(24^\circ)}
FG=18.50.4067≈45.48 mFG = \frac{18.5}{0.4067} \approx 45.48\text{ m}

المقارنة:

45.48 m≤50 m45.48\text{ m} \le 50\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسافة إلى الطائر تبلغ حوالي 45.48 m45.48\text{ m} وهي أقل من المدى الأقصى للبندقية (50 m50\text{ m})، وبالتالي فإن مدى رمي أيوب مناسب جداً لإصابة الطائر.

المشهد الثالث: صيد طائر الحجل

1) تبيان طبيعة المثلث RTSRTS:

الأطوال المعطاة هي: RT=4.5 mRT = 4.5\text{ m}، TS=6 mTS = 6\text{ m}، RS=7.5 mRS = 7.5\text{ m}.

نحسب مربع أطول ضلع:

RS2=(7.5)2=56.25RS^2 = (7.5)^2 = 56.25

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

RT2+TS2=(4.5)2+62=20.25+36=56.25RT^2 + TS^2 = (4.5)^2 + 6^2 = 20.25 + 36 = 56.25

بما أن RS2=RT2+TS2RS^2 = RT^2 + TS^2، فإنه وحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس:

✅الإجابة النموذجية:

المثلث RTSRTS قائم في النقطة TT.

2) إيجاد قيس الزاوية α\alpha التي تمكّن أيوب من إصابة الهدف (بالتدوير إلى الوحدة):

الزاوية α\alpha هي الزاوية TRS^\widehat{TRS} في المثلث القائم RTSRTS في TT:

cos⁡(α)=المجاورالوتر=RTRS=4.57.5=0.6\cos(\alpha) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{RT}{RS} = \frac{4.5}{7.5} = 0.6

باستعمال الحاسبة (cos⁡−1(0.6)\cos^{-1}(0.6)):

α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ
✅الإجابة النموذجية:

بتدوير النتيجة إلى الوحدة، قيس الزاوية α\alpha هو:

α≈53∘\alpha \approx 53^\circ