📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 110 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول

1. هل العددان 4368 و 2548 أوليان فيما بينهما؟ مع التعليل

💡إضاءة وتنبيه:

يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1 (PGCD(a,b)=1\text{PGCD}(a, b) = 1). إذا وجد قاسم مشترك آخر غير 1، فالعددان ليسا أوليين فيما بينهما.

✅الإجابة النموذجية:

العددان 4368 و 2548 ليسا أوليين فيما بينهما.

التعليل: كلاً من العددين 4368 و 2548 عدد زوجي (آحادهما 8)، وبالتالي يتقابلان القسمة على 2، مما يعني أن لهما قاسماً مشتركاً يختلف عن 1، أي أن PGCD(4368,2548)≠1\text{PGCD}(4368, 2548) \neq 1.

2. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين PGCD(2548,4368)\text{PGCD}(2548, 4368)

تطبيق خوارزمية قسمات إقليدس (القسمات المتتالية):

4368=2548×1+18204368 = 2548 \times 1 + 1820
2548=1820×1+7282548 = 1820 \times 1 + 728
1820=728×2+3641820 = 728 \times 2 + 364
728=364×2+0728 = 364 \times 2 + 0
✅الإجابة النموذجية:

آخر باقي غير معدوم في خوارزمية إقليدس هو 364.

إذن:

PGCD(2548,4368)=364\text{PGCD}(2548, 4368) = 364

3. كتابة العدد AA على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا العبارة:

A=2−(25484368)2×1249A = 2 - \left( \frac{2548}{4368} \right)^2 \times \frac{12}{49}

الخطوة الأولية: اختزال الكسر 25484368\frac{2548}{4368} بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر 364:

2548÷3644368÷364=712\frac{2548 \div 364}{4368 \div 364} = \frac{7}{12}

التعويض في العبارة AA:

A=2−(712)2×1249A = 2 - \left( \frac{7}{12} \right)^2 \times \frac{12}{49}
A=2−(72122)×1249A = 2 - \left( \frac{7^2}{12^2} \right) \times \frac{12}{49}
A=2−49144×1249A = 2 - \frac{49}{144} \times \frac{12}{49}

نختزل العدد 49 من البسط والمقام:

A=2−12144A = 2 - \frac{12}{144}

نختزل الكسر 12144\frac{12}{144} بقسمة البسط والمقام على 12:

A=2−112A = 2 - \frac{1}{12}

نوحد المقامات:

A=2×1212−112=24−112=2312A = \frac{2 \times 12}{12} - \frac{1}{12} = \frac{24 - 1}{12} = \frac{23}{12}
✅الإجابة النموذجية:
A=2312A = \frac{23}{12}
📌

التمرين الثاني

1. كتابة العدد BB على شكل a5a\sqrt{5} حيث aa عدد ناطق

لدينا العبارة:

B=125−245−180B = \sqrt{125} - \sqrt{245} - \sqrt{180}

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء جذاءين أحدهما مربع تام والآخر 5:

125=25×5=25×5=55\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}
245=49×5=49×5=75\sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = \sqrt{49} \times \sqrt{5} = 7\sqrt{5}
180=36×5=36×5=65\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}

بالتعويض في BB:

B=55−75−65B = 5\sqrt{5} - 7\sqrt{5} - 6\sqrt{5}
B=(5−7−6)5B = (5 - 7 - 6)\sqrt{5}
B=−85B = -8\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
B=−85حيث a=−8B = -8\sqrt{5} \quad \text{حيث } a = -8

2. نشر وتبسيط العدد CC

لدينا العبارة:

C=(3−4)(23−5)C = (\sqrt{3} - 4)(2\sqrt{3} - 5)

تطبيق خاصية التوزيع:

C=3×23−3×5−4×23+4×5C = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \times 5 - 4 \times 2\sqrt{3} + 4 \times 5
C=2×(3)2−53−83+20C = 2 \times (\sqrt{3})^2 - 5\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 20
C=2×3−(5+8)3+20C = 2 \times 3 - (5 + 8)\sqrt{3} + 20
C=6−133+20C = 6 - 13\sqrt{3} + 20
C=26−133C = 26 - 13\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
C=26−133C = 26 - 13\sqrt{3}

3. جعل مقام النسبة B−25\frac{B - 2}{\sqrt{5}} عدداً ناطقاً

نعوض B=−85B = -8\sqrt{5} في النسبة:

B−25=−85−25\frac{B - 2}{\sqrt{5}} = \frac{-8\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5}}

نضرب كلاً من البسط والمقام في 5\sqrt{5}:

(−85−2)×55×5=−8(5)2−255\frac{(-8\sqrt{5} - 2) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{-8(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}}{5}
=−8×5−255=−40−255= \frac{-8 \times 5 - 2\sqrt{5}}{5} = \frac{-40 - 2\sqrt{5}}{5}
✅الإجابة النموذجية:
B−25=−40−255\frac{B - 2}{\sqrt{5}} = \frac{-40 - 2\sqrt{5}}{5}
📌

التمرين الثالث

المعطيات:

(AB)//(EF)(AB) // (EF)
AB=24 cmAB = 24\text{ cm}، BC=7 cmBC = 7\text{ cm}، BD=8 cmBD = 8\text{ cm}، BO=21 cmBO = 21\text{ cm}، OE=12 cmOE = 12\text{ cm}، OF=14 cmOF = 14\text{ cm}.

1. حساب الطولين OAOA و EFEF

بما أن المستقيمين (AE)(AE) و (BF)(BF) يتقاطعان في النقطة OO، والمستقيمين (AB)(AB) و (EF)(EF) متوازيان (AB)//(EF)(AB) // (EF)، فحسب خاصية طاليس نكتب تناسبية الأطوال:

OAOE=OBOF=ABEF\frac{OA}{OE} = \frac{OB}{OF} = \frac{AB}{EF}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

OA12=2114=24EF\frac{OA}{12} = \frac{21}{14} = \frac{24}{EF}
حساب الطول OAOA:
OA=12×2114=25214=18 cmOA = \frac{12 \times 21}{14} = \frac{252}{14} = 18\text{ cm}
حساب الطول EFEF:
EF=24×1421=33621=16 cmEF = \frac{24 \times 14}{21} = \frac{336}{21} = 16\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
OA=18 cmوEF=16 cmOA = 18\text{ cm} \quad \text{و} \quad EF = 16\text{ cm}

2. هل المستقيمان (AO)(AO) و (DC)(DC) متوازيان؟ مع التعليل

لنقرر توازي المستقيمين (AO)(AO) و (DC)(DC) في المثلث ABOABO، نحسب ونقارن النسبتين انطلاقاً من الرأس BB:

1. النسبة الأولى:

BDBA=824=13\frac{BD}{BA} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}

2. النسبة الثانية:

BCBO=721=13\frac{BC}{BO} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}

نلاحظ أن:

BDBA=BCBO=13\frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BO} = \frac{1}{3}

وبما أن النقاط B,D,AB, D, A والنقاط B,C,OB, C, O مرتبة بنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين (AO)(AO) و (DC)(DC) متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:

نعم، المستقيمان (AO)(AO) و (DC)(DC) متوازيان.

📌

التمرين الرابع

المعطيات من الشكل:

المثلث SFESFE قائم في SS.
الطول SE=8 cmSE = 8\text{ cm}.
قيس الزاوية SFE^=25∘\widehat{SFE} = 25^\circ.

حساب الطولين SFSF و EFEF بالتدوير إلى الوحدة

💡إضاءة وتنبيه:

في المثلث القائم:

tan⁡(الزاوية)=الضلع المقابلالضلع المجاور\tan(\text{الزاوية}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}
sin⁡(الزاوية)=الضلع المقابلالوتر\sin(\text{الزاوية}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}

1. حساب الطول SFSF:

في المثلث القائم SFESFE:

tan⁡(SFE^)=SESF\tan(\widehat{SFE}) = \frac{SE}{SF}
tan⁡(25∘)=8SF\tan(25^\circ) = \frac{8}{SF}
SF=8tan⁡(25∘)≈80.4663≈17.15 cmSF = \frac{8}{\tan(25^\circ)} \approx \frac{8}{0.4663} \approx 17.15\text{ cm}

بالتدوير إلى الوحدة (الأقرب للعدد الصحيح):

SF≈17 cmSF \approx 17\text{ cm}

2. حساب الطول EFEF:

في المثلث القائم SFESFE:

sin⁡(SFE^)=SEEF\sin(\widehat{SFE}) = \frac{SE}{EF}
sin⁡(25∘)=8EF\sin(25^\circ) = \frac{8}{EF}
EF=8sin⁡(25∘)≈80.4226≈18.93 cmEF = \frac{8}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{8}{0.4226} \approx 18.93\text{ cm}

بالتدوير إلى الوحدة:

EF≈19 cmEF \approx 19\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
SF≈17 cmSF \approx 17\text{ cm}
EF≈19 cmEF \approx 19\text{ cm}
📌

الوضعية الإدماجية

الجزء الأول

1. حساب الطول ASAS (طول السند):

العمارة ممتدة عمودياً على سطح الأرض، إذن المثلث ABSABS قائم في BB.

معطيات الشكل:

AB=4.5 mAB = 4.5\text{ m} (المسافة على الأرض)
SB=15 mSB = 15\text{ m} (ارتفاع العمارة)

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم ABSABS:

AS2=AB2+SB2AS^2 = AB^2 + SB^2
AS2=(4.5)2+(15)2AS^2 = (4.5)^2 + (15)^2
AS2=20.25+225=245.25AS^2 = 20.25 + 225 = 245.25
AS=245.25≈15.66 mAS = \sqrt{245.25} \approx 15.66\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

طول السند ASAS هو 15.66 m15.66\text{ m} (أو بالتدوير إلى الوحدة: 16 m16\text{ m}).

2. حساب الطولين SNSN و SMSM:

حساب الطول SNSN:

النقطة NN تقع على الضلع العمودي للعمارة على ارتفاع NB=2.8 mNB = 2.8\text{ m} من الأرض، والارتفاع الكلي هو SB=15 mSB = 15\text{ m}:

SN=SB−NB=15−2.8=12.2 mSN = SB - NB = 15 - 2.8 = 12.2\text{ m}
حساب الطول SMSM:

باستخدام التناسبية مع طول السند الإجمالي SA≈15.66 mSA \approx 15.66\text{ m}:

SM=SA×SNSB=15.66×12.215≈12.74 mSM = SA \times \frac{SN}{SB} = 15.66 \times \frac{12.2}{15} \approx 12.74\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:
SN=12.2 mSN = 12.2\text{ m}
SM≈12.74 mSM \approx 12.74\text{ m}

3. البرهان أن المستقيم (MN)(MN) موازي للأرض (المستقيم (AB)(AB)):

نحسب ونقارن النسبتين انطلاقاً من قمة العمارة SS:

SNSB=12.215≈0.8133\frac{SN}{SB} = \frac{12.2}{15} \approx 0.8133
SMSA=12.7415.66≈0.8135\frac{SM}{SA} = \frac{12.74}{15.66} \approx 0.8135

بما أن النسبتين متساويتان:

SNSB=SMSA\frac{SN}{SB} = \frac{SM}{SA}

والنقاط S,N,BS, N, B و S,M,AS, M, A مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه بحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيم (MN)(MN) يوازي المستقيم (AB)(AB) (أي موازي للأرض).

4. حساب tan⁡α\tan \alpha واستنتاج قيمة الزاوية α\alpha:

في المثلث القائم ABSABS عند القاعدة AA:

tan⁡α=الضلع المقابلالضلع المجاور=SBAB\tan \alpha = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{SB}{AB}
tan⁡α=154.5=103≈3.33\tan \alpha = \frac{15}{4.5} = \frac{10}{3} \approx 3.33

استنتاج قيمة الزاوية α\alpha بالضغط على زر tan⁡−1(3.33)\tan^{-1}(3.33):

α≈73.3∘\alpha \approx 73.3^\circ

بالتدوير إلى الوحدة:

α≈73∘\alpha \approx 73^\circ
✅الإجابة النموذجية:
tan⁡α=3.33\tan \alpha = 3.33
قيمة الزاوية α\alpha بالتدوير إلى الوحدة هي 73∘73^\circ.

الجزء الثاني

1. ما هو عدد العمارات التي بدأ العمال بترميمها؟

يريد المقاول توزيع العمال (240 بناء و 84 دهاناً) على أكبر عدد من العمارات بالتساوي وبدون بقاء أي عامل.

هذا العدد يمثل القاسم المشترك الأكبر للعددين 240 و 84، أي PGCD(240,84)\text{PGCD}(240, 84).

تطبيق خوارزمية إقليدس:

240=84×2+72240 = 84 \times 2 + 72
84=72×1+1284 = 72 \times 1 + 12
72=12×6+072 = 12 \times 6 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 12.

PGCD(240,84)=12\text{PGCD}(240, 84) = 12
✅الإجابة النموذجية:

عدد العمارات التي بدأ العمال بترميمها هو 12 عمارة.

2. ما هو عدد عمال الطلاء وعدد عمال البناء في كل عمارة؟

عدد عمال البناء في كل عمارة:
240÷12=20 بناءً240 \div 12 = 20 \text{ بناءً}
عدد عمال الطلاء (الدهانين) في كل عمارة:
84÷12=7 دهانين84 \div 12 = 7 \text{ دهانين}
✅الإجابة النموذجية:

يوجد في كل عمارة 20 بناءً و 7 دهانين (بإجمالي 27 عاملاً لكل عمارة).

3. حساب تكلفة ترميم كل عمارة:

المعطيات:

عدد العمال في العمارة الواحدة = 20+7=27 عاملاً20 + 7 = 27 \text{ عاملاً}.
يومية العامل الواحد = 500 دج500\text{ دج}.
ثمن المواد لكل عمارة = 17000 دج17000\text{ دج}.
عدد أيام العمل = 15 يوماً15 \text{ يوماً}.

الخطوات الحسابية:

1. حساب مصاريف أجور العمال لليوم الواحد في العمارة الواحدة:

27×500=13500 دج/يوم27 \times 500 = 13500\text{ دج/يوم}

2. حساب إجمالي أجور العمال خلال 15 يوماً للعمارة الواحدة:

13500×15=202500 دج13500 \times 15 = 202500\text{ دج}

3. حساب التكلفة الإجمالية لترميم العمارة الواحدة:

التكلفة الإجمالية=أجور العمال+ثمن المواد\text{التكلفة الإجمالية} = \text{أجور العمال} + \text{ثمن المواد}
التكلفة الإجمالية=202500+17000=219500 دج\text{التكلفة الإجمالية} = 202500 + 17000 = 219500\text{ دج}
✅الإجابة النموذجية:

تكلفة ترميم كل عمارة هي 219500 دج219500\text{ دج} (مائتان وتسعة عشر ألفاً وخمسماية دينار جزائري).