📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 112 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1) حساب العبارة AA وكتابة الناتج على شكل كسر غير قابل للاختزال:

لدينا العبارة:

A=(23−3)÷19A = \left(\frac{2}{3} - 3\right) \div \frac{1}{9}
أولاً: توحيد المقامات داخل القوسين:
23−3=23−3×31×3=23−93=2−93=−73\frac{2}{3} - 3 = \frac{2}{3} - \frac{3 \times 3}{1 \times 3} = \frac{2}{3} - \frac{9}{3} = \frac{2 - 9}{3} = \frac{-7}{3}
ثانياً: إجراء عملية القسمة بتحويلها إلى ضرب في المقلوب:
A=(−73)÷19=−73×91A = \left(\frac{-7}{3}\right) \div \frac{1}{9} = \frac{-7}{3} \times \frac{9}{1}
A=−7×93×1=−633=−21A = \frac{-7 \times 9}{3 \times 1} = \frac{-63}{3} = -21
💡إضاءة وتنبيه:
قسمة كسرين تؤول إلى ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني. ويمكن كتابة العدد الصحيح على شكل كسر مقامه 11.
✅الإجابة النموذجية:
A=−21=−211A = -21 = \frac{-21}{1}

2) إعطاء الكتابة العلمية للعدد BB:

لدينا العبارة:

B=26×103×2×10−25×10−8B = \frac{26 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-8}}
تبسيط البسط وتجميعه:
B=(26×2)×(103×10−2)5×10−8B = \frac{(26 \times 2) \times (10^3 \times 10^{-2})}{5 \times 10^{-8}}
B=52×103+(−2)5×10−8=52×1015×10−8B = \frac{52 \times 10^{3 + (-2)}}{5 \times 10^{-8}} = \frac{52 \times 10^1}{5 \times 10^{-8}}
فصل الأعداد عن القوى العشرية:
B=(525)×(10110−8)B = \left(\frac{52}{5}\right) \times \left(\frac{10^1}{10^{-8}}\right)
B=10.4×101−(−8)=10.4×109B = 10.4 \times 10^{1 - (-8)} = 10.4 \times 10^9
تحويل العدد إلى الكتابة العلمية (رقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة):
B=(1.04×101)×109=1.04×101+9B = (1.04 \times 10^1) \times 10^9 = 1.04 \times 10^{1 + 9}
✅الإجابة النموذجية:
B=1.04×1010B = 1.04 \times 10^{10}

3) حل المعادلة: 2x2−99=1012x^2 - 99 = 101

نقل الأعداد إلى الطرف الأيمن:
2x2=101+992x^2 = 101 + 99
2x2=2002x^2 = 200
x2=2002x^2 = \frac{200}{2}
x2=100x^2 = 100
بما أن 100>0100 > 0، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:
x=100=10أوx=−100=−10x = \sqrt{100} = 10 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{100} = -10
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: x=10x = 10 و x=−10x = -10.

📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

1) كتابة العدد EE على شكل a2a\sqrt{2} حيث aa عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

E=432−350+18E = 4\sqrt{32} - 3\sqrt{50} + \sqrt{18}
تفكيك الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عدد مربّع في 2:
32=16×2=16×2=42\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}
50=25×2=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}
18=9×2=9×2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}
التعويض في العبارة EE:
E=4(42)−3(52)+32E = 4(4\sqrt{2}) - 3(5\sqrt{2}) + 3\sqrt{2}
E=162−152+32E = 16\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 3\sqrt{2}
E=(16−15+3)2E = (16 - 15 + 3)\sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:
E=42(a=4∈N)E = 4\sqrt{2} \quad (a = 4 \in \mathbb{N})

2) جعل مقام النسبة FF عدداً ناطقاً:

لدينا النسبة:

F=2+322F = \frac{2 + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
ضرب كل من البسط والمقام في 2\sqrt{2}:
F=(2+32)×22×2F = \frac{(2 + 3\sqrt{2}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}
F=22+3(2)22F = \frac{2\sqrt{2} + 3(\sqrt{2})^2}{2}
F=22+3×22=22+62F = \frac{2\sqrt{2} + 3 \times 2}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 6}{2}
بتبسيط الكسر بقسمة كل حد على 2:
F=2(2+3)2=2+3F = \frac{2(\sqrt{2} + 3)}{2} = \sqrt{2} + 3
✅الإجابة النموذجية:
F=22+62=2+3F = \frac{2\sqrt{2} + 6}{2} = \sqrt{2} + 3

3) تبيان أن العدد GG عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

G=(27+1)(27−1)G = (2\sqrt{7} + 1)(2\sqrt{7} - 1)
💡إضاءة وتنبيه:
العبارة على شكل المتطابقة الشهيرة الثالثة: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
تطبيق المتطابقة الشهيرة:
G=(27)2−(1)2G = (2\sqrt{7})^2 - (1)^2
G=(22×(7)2)−1G = (2^2 \times (\sqrt{7})^2) - 1
G=(4×7)−1G = (4 \times 7) - 1
G=28−1=27G = 28 - 1 = 27
✅الإجابة النموذجية:

بما أن G=27G = 27 والعدد 2727 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (27∈N27 \in \mathbb{N})، فإن GG عدد طبيعي.

📌

التمرين الثالث (03 نقاط)

1) تبيان أن المستقيمين (CB)(CB) و (ED)(ED) متوازيان:

المستقيمان (BE)(BE) و (CD)(CD) يتقاطعان في النقطة AA.

حساب النسبتين ومقارنتهما:
AEAB=1020=0.5\frac{AE}{AB} = \frac{10}{20} = 0.5
ADAC=10.521=0.5\frac{AD}{AC} = \frac{10.5}{21} = 0.5
المقارنة والتطبيق:

نلاحظ أن:

AEAB=ADAC=0.5\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} = 0.5

وبما أن النقاط A,E,BA, E, B والنقاط A,D,CA, D, C مرتبة بنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين (CB)(CB) و (ED)(ED) متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:
(CB)∥(ED)(CB) \parallel (ED)

2) إثبات أن المثلث AEDAED قائم في النقطة AA:

في المثلث AEDAED، الأطوال هي:

AE=10 cmAE = 10\text{ cm}
AD=10.5 cmAD = 10.5\text{ cm}
ED=14.5 cmED = 14.5\text{ cm}
حساب مربع أطول ضلع (الوتر المحتمل):
ED2=(14.5)2=210.25ED^2 = (14.5)^2 = 210.25
حساب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
AE2+AD2=102+(10.5)2=100+110.25=210.25AE^2 + AD^2 = 10^2 + (10.5)^2 = 100 + 110.25 = 210.25
المقارنة الاستنتاجية:

نلاحظ أن:

ED2=AE2+AD2=210.25ED^2 = AE^2 + AD^2 = 210.25
✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث AEDAED قائم في النقطة AA.

📌

التمرين الرابع (03 نقاط)

1) تبيان أن الطول RT=8 cmRT = 8\text{ cm}:

المثلث RSTRST قائم في النقطة SS، حيث:

RS=4.8 cmRS = 4.8\text{ cm}
ST=6.4 cmST = 6.4\text{ cm}

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم RSTRST:

RT2=RS2+ST2RT^2 = RS^2 + ST^2
RT2=(4.8)2+(6.4)2RT^2 = (4.8)^2 + (6.4)^2
RT2=23.04+40.96=64RT^2 = 23.04 + 40.96 = 64
RT=64=8 cmRT = \sqrt{64} = 8\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
RT=8 cmRT = 8\text{ cm}

2) إيجاد قيس الزاوية RVT^\widehat{RVT} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

نعلم أن:

cos⁡(VRT^)=45=0.8\cos(\widehat{VRT}) = \frac{4}{5} = 0.8

باستعمال الآلة الحاسبة (باستخدام اللمسة cos⁡−1\cos^{-1} أو 2ndF+cos⁡\text{2ndF} + \cos):

VRT^=arccos⁡(0.8)≈36.8698∘\widehat{VRT} = \arccos(0.8) \approx 36.8698^\circ
التدوير إلى الوحدة من الدرجة:

بما أن الرقم الأول بعد الفاصلة هو 88 (أكبر من أو يساوي 5)، نقوم بالتدوير إلى الأعلى.

✅الإجابة النموذجية:
VRT^≈37∘\widehat{VRT} \approx 37^\circ

3) حساب القيمة المضبوطة لـ sin⁡(VRT^)\sin(\widehat{VRT}):

باستعمال العلاقة الأساسية بين النسب المثلثية:

cos⁡2(VRT^)+sin⁡2(VRT^)=1\cos^2(\widehat{VRT}) + \sin^2(\widehat{VRT}) = 1
التعويض بقيمة cos⁡(VRT^)=45\cos(\widehat{VRT}) = \frac{4}{5}:
(45)2+sin⁡2(VRT^)=1\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \sin^2(\widehat{VRT}) = 1
1625+sin⁡2(VRT^)=1\frac{16}{25} + \sin^2(\widehat{VRT}) = 1
sin⁡2(VRT^)=1−1625\sin^2(\widehat{VRT}) = 1 - \frac{16}{25}
sin⁡2(VRT^)=2525−1625=925\sin^2(\widehat{VRT}) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
أخذ الجذر التربيعي الموجب:
sin⁡(VRT^)=925=925=35=0.6\sin(\widehat{VRT}) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} = 0.6
✅الإجابة النموذجية:
sin⁡(VRT^)=35=0.6\sin(\widehat{VRT}) = \frac{3}{5} = 0.6
📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

الجزء الأول (I): تسييج الأرضية

1) حساب أكبر مسافة بين كل عمودين متتاليين:

تكون المسافة بين الأعمدة متساوية وأكبر ما يمكن إذا كانت تمثل القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لبُعدي الأرضية المستطيلة (100 m100\text{ m} و 45 m45\text{ m}).

حساب PGCD(100,45)\text{PGCD}(100, 45) باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

100=45×2+10100 = 45 \times 2 + 10
45=10×4+545 = 10 \times 4 + 5
10=5×2+010 = 5 \times 2 + 0

آخر باقٍ غير معدوم هو 55.

✅الإجابة النموذجية:

أكبر مسافة بين كل عمودين متتاليين هي: 5 m5\text{ m}.

2) مساعدة أحمد في إيجاد عدد الأعمدة اللازمة:

حساب محيط الأرضية المستطيلة PP:
P=2×(الطول+العرض)P = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض})
P=2×(100+45)=2×145=290 mP = 2 \times (100 + 45) = 2 \times 145 = 290\text{ m}
حساب عدد الأعمدة الموزعة على محيط الأرضية بالكامل:
عدد الأعمدة=المحيطالمسافة بين كل عمودين=2905=58 عمودًا\text{عدد الأعمدة} = \frac{\text{المحيط}}{\text{المسافة بين كل عمودين}} = \frac{290}{5} = 58\text{ عمودًا}
💡إضاءة وتنبيه:
بما أن التسييج يتم بوضع عمود في كل ركن مع ترك مدخل بين عمودين متتاليين، فإن عدد الأعمدة الكلي اللازم لتحديد جميع فواصل المحيط والمدخل هو 5858 عمودًا.
✅الإجابة النموذجية:

عدد الأعمدة اللازمة هو: 58 عمودًا.

الجزء الثاني (II): توصيل أنبوب الماء وحساب المصاريف الإجمالية

1) حساب طول الأنبوب الواصل بين البئر وبيت الوضوء:

الأنبوب يمتد على المسار: من EE إلى FF، ثم من FF إلى GG، ثم من GG إلى BB.

طول الأنبوب الكلي LL هو:

L=EF+FG+GBL = EF + FG + GB
أولاً: حساب الطول GBGB:

من المخطط، النقط A,G,BA, G, B في استقامية، وكسور أطوال قطعة ضلع المستطيل AB=100 mAB = 100\text{ m}، والطول AG=75 mAG = 75\text{ m}:

GB=AB−AG=100−75=25 mGB = AB - AG = 100 - 75 = 25\text{ m}
ثانياً: حساب الطول FGFG:

بما أن الأرضية مستطيلة والشكل يبين عمودية القطعتين على المستقيم (AB)(AB)، فإن المستقيمين (FG)(FG) و (EA)(EA) متوازيان ((FG)∥(EA)(FG) \parallel (EA)).

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث EABEAB:

BGBA=BFBE=FGEA\frac{BG}{BA} = \frac{BF}{BE} = \frac{FG}{EA}

تعويض الأطوال المعلومة (BG=25BG = 25، BA=100BA = 100، EA=80EA = 80):

25100=FG80\frac{25}{100} = \frac{FG}{80}
FG=25×80100=2000100=20 mFG = \frac{25 \times 80}{100} = \frac{2000}{100} = 20\text{ m}
ثالثاً: الطول EFEF:

مُعطى في المخطط: EF=96 mEF = 96\text{ m}.

رابعاً: الطول الإجمالي لأنبوب الماء LL:
L=EF+FG+GB=96+20+25=141 mL = EF + FG + GB = 96 + 20 + 25 = 141\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

طول الأنبوب الواصل بين البئر وبيت الوضوء هو: 141 متراً.

2) حساب مصاريف إحاطة المسجد بالسياج ونقل الماء:

1. تكلفة الأعمدة:
عدد الأعمدة: 5858 عمودًا.
ثمن العمود الواحد: 850 DA850\text{ DA}.
تكلفة الأعمدة=58×850=49,300 DA\text{تكلفة الأعمدة} = 58 \times 850 = 49,300\text{ DA}
2. تكلفة السياج:
طول السياج المطلوب = محيط المسجد - عرض المدخل (مسافة واحدة بين عمودين قدرها 5 m5\text{ m}):
طول السياج=290−5=285 m\text{طول السياج} = 290 - 5 = 285\text{ m}
ثمن المتر الواحد من السياج: 350 DA350\text{ DA}.
تكلفة السياج=285×350=99,750 DA\text{تكلفة السياج} = 285 \times 350 = 99,750\text{ DA}
3. تكلفة الأنبوب:
طول الأنبوب: 141 m141\text{ m}.
ثمن المتر الواحد من الأنبوب: 250 DA250\text{ DA}.
تكلفة الأنبوب=141×250=35,250 DA\text{تكلفة الأنبوب} = 141 \times 250 = 35,250\text{ DA}
4. تكلفة النقل:
تكلفة نقل الأعمدة والسياج والأنبوب: 2,500 DA2,500\text{ DA}.
5. المصاريف الإجمالية الكلية:
المصاريف الكلية=تكلفة الأعمدة+تكلفة السياج+تكلفة الأنبوب+تكلفة النقل\text{المصاريف الكلية} = \text{تكلفة الأعمدة} + \text{تكلفة السياج} + \text{تكلفة الأنبوب} + \text{تكلفة النقل}
المصاريف الكلية=49,300+99,750+35,250+2,500=186,800 DA\text{المصاريف الكلية} = 49,300 + 99,750 + 35,250 + 2,500 = 186,800\text{ DA}
✅الإجابة النموذجية:

مصاريف إحاطة المسجد بالسياج ونقل الماء إلى بيت الوضوء تبلغ إجمالاً: 186,800 دينار جزائري (DA).