يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. إذا وجد قاسم مشترك أكبر من 1 (مثل 2)، فإن العددين غير أوليين فيما بينهما مباشرة دون الحاجة لحساب $\text{PGCD}$.

العددان $682$ و $352$ ليسا أوليين فيما بينهما.

التبرير: كلاً من العددين $682$ و $352$ عدد زوجي (آحادهما $2$)، وبالتالي فهما يقبلان القسمة على $2$. بما أنه يوجد قاسم مشترك أكبر من $1$، فإن $\text{PGCD}(682, 352) \neq 1$.

نكتب المعادلة على الشكل $x^2 = b$:

بما أن $\frac{225}{81} > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

أو:

حلول المعادلة الأولى هي: $S = \left\{ -\frac{5}{3} \,;\, \frac{5}{3} \right\}$.

باستعمال الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

نلاحظ أن الطرف الأيمن متطابقة شهيرة من الشكل $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

حل المعادلة الثانية هو: $x = 2$.

أولاً: نختزل الكسر $\frac{682}{352}$ بحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(682, 352)$ باستعمال خوارزمية إقليدس:

إذن: $\text{PGCD}(682, 352) = 22$.

الاختزال:

ثانياً: نبسط الحد الثاني:

ثالثاً: نحسب القيمة النهائية لـ $d$:

نكتب ما تحت الجذور على شكل $a^2 \times 5$:

بالتمعن في التشفير المعطى على الشكل:

1. الاضلاع الأربعة متقايسة (تشفير التقايس `//`).

2. وجود زوايا قائمة عند الرؤوس.

هذا يعني أن الشكل $ABCD$ هو مربع طول ضلعه $a = 2\sqrt{5} \text{ cm}$.

مساحة المربع $ABCD$ هي:

القطر $CA$ يقسم المربع إلى مثلثين قائمين. نأخذ المثلث $ABC$ القائم في $B$:

حسب نظرية فيثاغورس:

التعويض العددي:

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فبحسب نظرية فيثاغورس:

تعتمد هذه الإجابة على الخاصية الأساسية للتوازي: "إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فهما متوازيان".

لدينا:

1. المثلث $ABC$ قائم في $A$، إذن: $(AC) \perp (AB)$.

2. المعطيات تنص على أن المستقيم الذي يشمل $E$ يعامد $(AB)$، إذن: $(ME) \perp (AB)$.

بما أن كلا من $(AC)$ و $(ME)$ عموديان على نفس المستقيم $(AB)$، فإن $(ME) \parallel (AC)$.

لدينا النقط $B, E, A$ في استقامية، والنقط $B, M, C$ في استقامية، و $(ME) \parallel (AC)$.

أولاً نحسب الطول $BE$:

بتطبيق نظرية طالس في المثلث $BAC$:

بالتعويض في النسبتين الأولى والثانية:

العبارة الجبرية:

نعوض $x = \frac{7}{2}$ في العبارة المنشورة:

نلاحظ وجود عامل مشترك وهو $(3x - 2)$:

من الشكل نلاحظ أن:

بتطبيق نظرية طالس في المثلث $ABC$:

بالتعويض بالقيم المعلومة:

بالتدوير إلى الوحدة:

ارتفاع الرافعة ينقسم إلى جزءين: $HC = HD + DC$.

أولاً: حساب الطول $HD$:

في المثلث $HED$ القائم في $D$:

ثانياً: حساب الارتفاع الكلي للرافعة $HC$:

بالتدوير إلى الوحدة:

الزاوية $\widehat{HEC}$ هي مجموع الزاويتين $\widehat{HED}$ و $\widehat{DEC}$:

لدينا $\widehat{HED} = 37^\circ$.

حساب الزاوية $\widehat{DEC}$:

في المثلث $EDC$ القائم في $D$:

باستخدام الحاسبة ($\text{shift tan}$ أو $\tan^{-1}$):

حساب الزاوية الإجمالية $\widehat{HEC}$:

بالتدوير إلى الوحدة: