نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتابعة) لحساب $\text{PGCD}(5096, 936)$:

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $104$، فإن:

بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $104$:

نصلح المعادلة على الشكل $x^2 = b$:

وباختزال الكسر نجد:

بما أن $\frac{9}{49} > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

أو

حلول المعادلة هي: $x_1 = \frac{3}{7}$ و $x_2 = -\frac{3}{7}$.

لدينا:

نكتب الأعداد تحت الجذر على الشكل $a^2 \times 5$:

بالتعويض في العبارة $A$:

تم التحقق بنجاح أن $A = \sqrt{5}$.

لدينا:

نضرب كل من البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

أولاً: تبسيط العبارة $A + 5B$:

نختزل العدد $5$ في البسط والمقام:

ثانياً: الحساب العددي:

نعلم أن $\sqrt{5} \approx 2.236067...$

القيمة المقربة بالنقصان إلى $10^{-2}$ (رقمان بعد الفاصلة) للعدد $A + 5B$ هي: $9.47$.

تكون النقط $A, O, C$ في استقامية والنقط $B, O, D$ في استقامية وبنفس الترتيب.

حسب عكس خاصية طاليس، يتوازى المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ إذا تحقق الشرط:

بالتعويض بالأطوال المعطاة ($OA = 4\text{ cm}$، $OB = 3\text{ cm}$، $OC = 6\text{ cm}$):

باستعمال حاصل الضرب المتصالب:

القيمة التي يأخذها الطول $OD$ ليكون $(AB) \parallel (CD)$ هي $4.5\text{ cm}$.

المثلث $OAB$ قائم في $O$ لأن المستقيمين $(AC)$ و $(BD)$ متعامدان في $O$.

نطبق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $OAB$:

حساب المحيط $P_1$:

بما أن $(AB) \parallel (CD)$، فإن المثلث $OCD$ هو تكبير للمثلث $OAB$ بنسبة تكبير $k$:

محيط المثلث المكبر $P_2$ يساوي محيط المثلث الأصلي $P_1$ مضروباً في نسبة التكبير $k$:

بما أن المثلث $ABC$ متقايس الأضلاع، فإن جميع زواياه متقايسة وقياس كل منها يساوي $60^\circ$.

وبما أن النقطة $O$ تنتمي إلى الضلع $[BC]$، فإن الزاوية $\widehat{ABO}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{ABC}$.

في المثلث المتقايس الأضلاع $ABC$، المتوسط المتعلق بالضلع $[BC]$ هو أيضاً ارتفاع، وبالتالي فإن المثلث $AOB$ قائم في $O$.

بما أن $O$ منتصف $[BC]$، فإن:

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $AOB$:

القيمة المضبوطة للطول $AO$ هي $2\sqrt{3}\text{ cm}$.

في المثلث القائم $AOB$ بالنسبة للزاوية $\widehat{ABO} = 60^\circ$:

المثلث $ABC$ قائم في $B$ أبعاده هي: $AB = 90\text{ m}$ و $BC = 110\text{ m}$.

نعلم أن $(MN) \perp (AB)$ و $(BC) \perp (AB)$، وبالتالي فإن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان: $(MN) \parallel (BC)$.

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $ABC$:

بما أن $AN = \frac{1}{3} AB$، فإن $\frac{AN}{AB} = \frac{1}{3}$، ومنه:

في المثلث $AMB$، الضلع $[AB]$ يعبر عن القاعدة والارتفاع المتعلق به هو $MN$:

مساحة القطعة $AMB$ هي $1650\text{ m}^2$.

نلاحظ أن:

نعم، كان إبراهيم محقاً بهذا التعين لأن مساحة القطعة $BMC$ ($3300\text{ m}^2$) تساوي تماماً ضعف مساحة القطعة $AMB$ ($1650\text{ m}^2$).

تنتج القطعة 3 شجيرات تفاح في كل $2\text{ m}^2$:

تنتج القطعة شجيرة برتقال واحدة في كل $1\text{ m}^2$:

أكبر عدد ممكن من الصناديق يمثل القاسم المشترك الأكبر لعددي الشجيرات $\text{PGCD}(3300, 2475)$:

باستخدام خوارزمية إقليدس:

إذن:

أكبر عدد من الصناديق التي يمكن إعدادها هو $825$ صندوقاً.

عدد الشجيرات التي وضعها إبراهيم في كل صندوق هو $7$ شجيرات (3 شجيرات تفاح و 4 شجيرات برتقال).