لحساب $\text{PGCD}(352, 308)$ نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $44$، فإن:

نقسم بسط ومقام الكسر $A$ على $44$:

لدينا العبارة:

تطبيق أولوية العمليات (أولوية الضرب قبل الجمع):

نختزل الكسر $\frac{3}{24}$ بقسمة البسط والمقام على $3$:

نعوض في العبارة $B$:

لدينا العبارة:

نفصل الأعداد العشرية عن قوى العدد 10:

حساب الجزء العددي:

حساب جزء القوى باستعمال خواص القوى $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ و $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$:

إذن:

الكتابة العلمية تكون من الشكل $a \times 10^n$ حيث $1 \le a < 10$:

لدينا:

بتطبيق خاصية ضرب الجذور التربيعية $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$:

العدد $18$ هو عدد طبيعي، وهو المطلوب.

لدينا:

نحلل الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع تام والآخر هو $3$:

نعوض في العبارة $N$:

نعوض قيمتي $M = 18$ و $N = 4\sqrt{3}$ في الطرف الأيسر:

بنقصيمة البسط والمقام على 4:

تنصيل المقام (تنطيق مقام الكسر بضربه في $\sqrt{3}$):

باختزال 9 على 3:

وهو المطلوب إثباته.

```

S

\

\ 2 cm

\

T----------- U (6 cm)

/ \

1.5 cm / \

/ \ 8 cm

R \

V

```

بتطبيق خاصية طالوس المباشرة في هذا الشكل:

نعوض الأطوال المعلومة:

نلاحظ أن النسبة الأولى والثانية متساويتان:

نأخذ التناسب:

باستعمال الرابع المتناسب:

المثلث $WHC$ قائم في $W$، إذن نطبق العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام:

نعوض قيمة $\sin(\widehat{WHC}) = 0.6$:

استنتاج $\tan(\widehat{WHC})$:

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة $\sin^{-1}$ أو $\text{2ndF sin}$):

بالتدوير إلى الدرجة (الوحدة):

في المثلث القائم $WHC$ في $W$، الزاويتان الحادتان متتامتان (مجموعهما $90^\circ$):

بالتدوير إلى الدرجة (الوحدة):

حساب $\text{PGCD}(240, 195)$ باستعمال خوارزمية إقليدس:

آخر باقي غير معدوم هو $15$.

عدد الأفواج المكونة هو: $15$ فوجاً.

المثلث $CEF$ قائم في $E$ (كما هو موضح بالرمز المربع عند الرأس $E$).

نطبق خاصية فيثاغورس على المثلث القائم $CEF$:

نعوض القيم المعلومة ($CF = 25\text{ m}$ و $CE = 3\text{ m}$):

البعد بين الفدائيين $E$ و $F$ هو: $EF = \sqrt{616}\text{ m} \approx 24.82\text{ m}$.

من المعطيات والشكل المرفق:

1. المستقيم $(EF)$ عمودي على المستقيم $(BE)$ عند النقطة $E$، أي: $(EF) \perp (BE)$.

2. المستقيم $(BD)$ عمودي على المستقيم $(BE)$ عند النقطة $B$، أي: $(BD) \perp (BE)$.

بما أن $(EF) \perp (BE)$ و $(BD) \perp (BE)$، فإن خط الهجوم $(EF)$ يوازي خط الهجوم $(BD)$:

بما أن المستقيمين متوازيان $(EF) // (BD)$، والخطين $(BE)$ و $(FD)$ يتقاطعان في النقطة $C$، فإن الزاويتين $\widehat{BCD}$ و $\widehat{ECF}$ متقابلتان بالرأس، وبالتالي هما متساويتان:

في المثلث القائم $CEF$ في $E$:

باستعمال الآلة الحاسبة:

وبالتالي:

بالتدوير إلى الدرجة (الوحدة):

(ملاحظة معلمية دقيقة: في حال الاعتماد على النسبة المثلثية للجيب $\sin(\widehat{BCD}) = \cos(\widehat{ECF})$ بحسب أبعاد الشكل القائم، فإن القيمة بالتدوير تبقى دقيقة ومبررة هندسياً).

نعلم أن الطول الكلي للقطعة العمودية هو $AD = 22\text{ m}$.

ونعلم أن النقط $A$، $B$، $D$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب، إذن:

حساب الطول $BD$ في المثلث القائم $BCD$ في $B$:

باستعمال النسبة المثلثية للجيب في المثلث القائم $BCD$:

لدينا $CD = 15\text{ m}$ و $\sin(\widehat{BCD}) = \sin(\widehat{ECF}) = \frac{EF}{CF} = \frac{\sqrt{616}}{25} \approx 0.9928$:

أو بتطبيق خاصية طالوس بين المثلثين المتقابلين بالرأس $CEF$ و $CBD$:

نعوض لحساب الطول $AB$:

المسافة بين الفدائيين $A$ و $B$ هي: $AB \approx 7.11\text{ m}$ (أو بالتدوير إلى المتر: $7\text{ m}$).