📚
الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 124 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الحل النموذجي المعتمد والشامل
المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 2058 و 1050: 💡 إضاءة وتنبيه:
لحساب
PGCD ( 2058 , 1050 ) \text{PGCD}(2058, 1050) PGCD ( 2058 , 1050 ) نعتمد خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية.
باستخدام خوارزمية القسمات المتتالية:
2058 = 1050 × 1 + 1008 2058 = 1050 \times 1 + 1008 2058 = 1050 × 1 + 1008
1050 = 1008 × 1 + 42 1050 = 1008 \times 1 + 42 1050 = 1008 × 1 + 42
1008 = 42 × 24 + 0 1008 = 42 \times 24 + 0 1008 = 42 × 24 + 0
آخر باقٍ غير معدوم هو 42 42 42
القاسم المشترك الأكبر للعددين 2058 و 1050 هو:
PGCD ( 2058 , 1050 ) = 42 \text{PGCD}(2058, 1050) = 42 PGCD ( 2058 , 1050 ) = 42
2) حساب وإختزال العدد G: العبارة المعطاة هي:
G = ( 2058 1050 − 6 5 ) ÷ 1 3 G = \left( \frac{2058}{1050} - \frac{6}{5} \right) \div \frac{1}{3} G = ( 1050 2058 − 5 6 ) ÷ 3 1
نختزل الكسر 2058 1050 \frac{2058}{1050} 1050 2058 PGCD ( 2058 , 1050 ) = 42 \text{PGCD}(2058, 1050) = 42 PGCD ( 2058 , 1050 ) = 42
2058 1050 = 2058 ÷ 42 1050 ÷ 42 = 49 25 \frac{2058}{1050} = \frac{2058 \div 42}{1050 \div 42} = \frac{49}{25} 1050 2058 = 1050 ÷ 42 2058 ÷ 42 = 25 49
نعوض الكسر المختزل في العبارة G G G
G = ( 49 25 − 6 5 ) ÷ 1 3 G = \left( \frac{49}{25} - \frac{6}{5} \right) \div \frac{1}{3} G = ( 25 49 − 5 6 ) ÷ 3 1
نوحد المقامات داخل القوسين:
6 5 = 6 × 5 5 × 5 = 30 25 \frac{6}{5} = \frac{6 \times 5}{5 \times 5} = \frac{30}{25} 5 6 = 5 × 5 6 × 5 = 25 30
G = ( 49 25 − 30 25 ) ÷ 1 3 G = \left( \frac{49}{25} - \frac{30}{25} \right) \div \frac{1}{3} G = ( 25 49 − 25 30 ) ÷ 3 1
G = 19 25 ÷ 1 3 G = \frac{19}{25} \div \frac{1}{3} G = 25 19 ÷ 3 1
لقسمة كسرين نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:
G = 19 25 × 3 1 = 19 × 3 25 × 1 = 57 25 G = \frac{19}{25} \times \frac{3}{1} = \frac{19 \times 3}{25 \times 1} = \frac{57}{25} G = 25 19 × 1 3 = 25 × 1 19 × 3 = 25 57 قيمة العدد G G G
G = 57 25 G = \frac{57}{25} G = 25 57
1) كتابة العدد A على الشكل a b a\sqrt{b} a b العبارة المعطاة:
A = 3 75 − 5 27 + 2 3 A = 3\sqrt{75} - 5\sqrt{27} + 2\sqrt{3} A = 3 75 − 5 27 + 2 3
نحلل الأعداد تحت الراديكال (الجذر) إلى جذاء يكون أحدهما مربعاً تاماً:
75 = 25 × 3 = 5 2 × 3 75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3 75 = 25 × 3 = 5 2 × 3 27 = 9 × 3 = 3 2 × 3 27 = 9 \times 3 = 3^2 \times 3 27 = 9 × 3 = 3 2 × 3
بالتعويض في العبارة A A A
A = 3 25 × 3 − 5 9 × 3 + 2 3 A = 3\sqrt{25 \times 3} - 5\sqrt{9 \times 3} + 2\sqrt{3} A = 3 25 × 3 − 5 9 × 3 + 2 3
A = 3 × 5 3 − 5 × 3 3 + 2 3 A = 3 \times 5\sqrt{3} - 5 \times 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} A = 3 × 5 3 − 5 × 3 3 + 2 3
A = 15 3 − 15 3 + 2 3 A = 15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 2\sqrt{3} A = 15 3 − 15 3 + 2 3
A = ( 15 − 15 + 2 ) 3 = 2 3 A = (15 - 15 + 2)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} A = ( 15 − 15 + 2 ) 3 = 2 3 كتابة العدد A A A a b a\sqrt{b} a b
حيث a = 2 a = 2 a = 2 b = 3 b = 3 b = 3
2) جعل مقام النسبة B عدداً ناطقاً: العبارة المعطاة:
B = 3 − 1 3 B = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} B = 3 3 − 1
لنقلب المقام إلى عدد ناطق، نضرب كل من البسط والمقام في 3 \sqrt{3} 3
B = ( 3 − 1 ) × 3 3 × 3 B = \frac{(\sqrt{3} - 1) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} B = 3 × 3 ( 3 − 1 ) × 3
B = 3 × 3 − 1 × 3 3 B = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 1 \times \sqrt{3}}{3} B = 3 3 × 3 − 1 × 3
B = 3 − 3 3 B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} B = 3 3 − 3 النسبة B B B
B = 3 − 3 3 B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} B = 3 3 − 3
3) تبيان أن H عدد طبيعي: العبارة المعطاة:
H = A 2 + 3 B H = \frac{A}{2} + 3B H = 2 A + 3 B
نعوض بقيمة A = 2 3 A = 2\sqrt{3} A = 2 3 B = 3 − 3 3 B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} B = 3 3 − 3
H = 2 3 2 + 3 ( 3 − 3 3 ) H = \frac{2\sqrt{3}}{2} + 3 \left( \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \right) H = 2 2 3 + 3 ( 3 3 − 3 )
نختزل العدد 2 2 2 3 3 3
H = 3 + ( 3 − 3 ) H = \sqrt{3} + (3 - \sqrt{3}) H = 3 + ( 3 − 3 )
H = 3 − 3 + 3 = 3 H = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3 = 3 H = 3 − 3 + 3 = 3 النتيجة هي H = 3 H = 3 H = 3 3 ∈ N 3 \in \mathbb{N} 3 ∈ N H H H
البرهان على أن ( K L ) / / ( M N ) (KL) // (MN) ( K L ) // ( M N ) 💡 إضاءة وتنبيه:
للبرهان على التوازي باستعمال الخاصية العكسية لخاصية طالس ، يجب التأكد من:
1. تساوي النسبتين R K R N \frac{RK}{RN} R N R K R L R M \frac{RL}{RM} R M R L
2. استقامية النقط وترتيبها بنفس النظام ( K , R , N ) (K, R, N) ( K , R , N ) ( L , R , M ) (L, R, M) ( L , R , M )
المعطيات:
M L = 29 cm ML = 29\text{ cm} M L = 29 cm R L = 9 cm RL = 9\text{ cm} R L = 9 cm R N = 7 cm RN = 7\text{ cm} R N = 7 cm R K = 3 , 15 cm RK = 3,15\text{ cm} R K = 3 , 15 cm
أولاً: حساب الطول R M RM R M
بما أن النقط M , R , L M, R, L M , R , L
R M = M L − R L = 29 − 9 = 20 cm RM = ML - RL = 29 - 9 = 20\text{ cm} R M = M L − R L = 29 − 9 = 20 cm
ثانياً: حساب ومقارنة النسبتين:
1. نسبة الطولين الأولى:
R K R N = 3 , 15 7 = 0 , 45 \frac{RK}{RN} = \frac{3,15}{7} = 0,45 R N R K = 7 3 , 15 = 0 , 45
2. نسبة الطولين الثانية:
R L R M = 9 20 = 0 , 45 \frac{RL}{RM} = \frac{9}{20} = 0,45 R M R L = 20 9 = 0 , 45
نلاحظ أن:
R K R N = R L R M = 0 , 45 \frac{RK}{RN} = \frac{RL}{RM} = 0,45 R N R K = R M R L = 0 , 45
وبما أن النقط K , R , N K, R, N K , R , N L , R , M L, R, M L , R , M
حسب الخاصية العكسية لخاصية طالس ، فإن المستقيَمين متوازيان:
( K L ) / / ( M N ) (KL) // (MN) ( K L ) // ( M N )
العبارة الجبرية المعطاة:
E = ( x + 3 ) ( 9 x − 3 ) − ( 4 x + 3 ) 2 E = (x + 3)(9x - 3) - (4x + 3)^2 E = ( x + 3 ) ( 9 x − 3 ) − ( 4 x + 3 ) 2
1) نشر وتبسيط العبارتين الفرعيتين:
نشر وتبسيط العبارة الأولى ( x + 3 ) ( 9 x − 3 ) (x + 3)(9x - 3) ( x + 3 ) ( 9 x − 3 )
( x + 3 ) ( 9 x − 3 ) = x ( 9 x ) + x ( − 3 ) + 3 ( 9 x ) + 3 ( − 3 ) (x + 3)(9x - 3) = x(9x) + x(-3) + 3(9x) + 3(-3) ( x + 3 ) ( 9 x − 3 ) = x ( 9 x ) + x ( − 3 ) + 3 ( 9 x ) + 3 ( − 3 )
= 9 x 2 − 3 x + 27 x − 9 = 9x^2 - 3x + 27x - 9 = 9 x 2 − 3 x + 27 x − 9
= 9 x 2 + 24 x − 9 = 9x^2 + 24x - 9 = 9 x 2 + 24 x − 9
نشر وتبسيط العبارة الثانية ( 4 x + 3 ) 2 (4x + 3)^2 ( 4 x + 3 ) 2 باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( 4 x + 3 ) 2 = ( 4 x ) 2 + 2 ( 4 x ) ( 3 ) + ( 3 ) 2 (4x + 3)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(3) + (3)^2 ( 4 x + 3 ) 2 = ( 4 x ) 2 + 2 ( 4 x ) ( 3 ) + ( 3 ) 2
= 16 x 2 + 24 x + 9 = 16x^2 + 24x + 9 = 16 x 2 + 24 x + 9
2) استنتاج أن E = − 7 x 2 − 18 E = -7x^2 - 18 E = − 7 x 2 − 18 نعوض نتيجتي النشر في العبارة الأصلية E E E
E = ( 9 x 2 + 24 x − 9 ) − ( 16 x 2 + 24 x + 9 ) E = (9x^2 + 24x - 9) - (16x^2 + 24x + 9) E = ( 9 x 2 + 24 x − 9 ) − ( 16 x 2 + 24 x + 9 )
نحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس الثاني المسبوق بإشارة ناقص:
E = 9 x 2 + 24 x − 9 − 16 x 2 − 24 x − 9 E = 9x^2 + 24x - 9 - 16x^2 - 24x - 9 E = 9 x 2 + 24 x − 9 − 16 x 2 − 24 x − 9
نجمع الحدود المتشابهة:
E = ( 9 x 2 − 16 x 2 ) + ( 24 x − 24 x ) + ( − 9 − 9 ) E = (9x^2 - 16x^2) + (24x - 24x) + (-9 - 9) E = ( 9 x 2 − 16 x 2 ) + ( 24 x − 24 x ) + ( − 9 − 9 )
E = − 7 x 2 + 0 x − 18 E = -7x^2 + 0x - 18 E = − 7 x 2 + 0 x − 18
E = − 7 x 2 − 18 E = -7x^2 - 18 E = − 7 x 2 − 18 وهو المطلوب استنتاجه: E = − 7 x 2 − 18 E = -7x^2 - 18 E = − 7 x 2 − 18
حل المعادلة E = − 81 E = -81 E = − 81 نعوض العبارة المبسطة لـ E E E
− 7 x 2 − 18 = − 81 -7x^2 - 18 = -81 − 7 x 2 − 18 = − 81
− 7 x 2 = − 81 + 18 -7x^2 = -81 + 18 − 7 x 2 = − 81 + 18
− 7 x 2 = − 63 -7x^2 = -63 − 7 x 2 = − 63
x 2 = − 63 − 7 x^2 = \frac{-63}{-7} x 2 = − 7 − 63
بما أن 9 > 0 9 > 0 9 > 0
x = 9 = 3 أو x = − 9 = − 3 x = \sqrt{9} = 3 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{9} = -3 x = 9 = 3 أو x = − 9 = − 3 للمعادلة E = − 81 E = -81 E = − 81
x 1 = 3 و x 2 = − 3 x_1 = 3 \quad \text{و} \quad x_2 = -3 x 1 = 3 و x 2 = − 3
الجزء الأول: إثبات توازن الهيكل 💡 إضاءة وتنبيه:
يتوازن الهيكل إذا تحقق الشرط
( A E ) ⊥ ( H B ) (AE) \perp (HB) ( A E ) ⊥ ( H B ) . بما أن النقطة
M M M هي نقطة تقاطع
( A E ) (AE) ( A E ) و
( H B ) (HB) ( H B ) ، فهذا يعني إثبات أن المثلث
A M B AMB A M B قائم في
M M M .
في المثلث A M B AMB A M B
A B = 20 dm AB = 20\text{ dm} A B = 20 dm (أطول ضلع)
A M = 16 dm AM = 16\text{ dm} A M = 16 dm M B = 12 dm MB = 12\text{ dm} M B = 12 dm
نحسب مربع أطول ضلع:
A B 2 = 20 2 = 400 AB^2 = 20^2 = 400 A B 2 = 2 0 2 = 400
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
A M 2 + M B 2 = 16 2 + 12 2 = 256 + 144 = 400 AM^2 + MB^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 A M 2 + M B 2 = 1 6 2 + 1 2 2 = 256 + 144 = 400
نلاحظ أن:
A B 2 = A M 2 + M B 2 = 400 AB^2 = AM^2 + MB^2 = 400 A B 2 = A M 2 + M B 2 = 400
حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس ، فإن المثلث A M B AMB A M B M M M
وعليه، فإن المستقيَمين ( A E ) (AE) ( A E ) ( H B ) (HB) ( H B ) M M M ( A E ) ⊥ ( H B ) (AE) \perp (HB) ( A E ) ⊥ ( H B )
بما أن ( A E ) ⊥ ( H B ) (AE) \perp (HB) ( A E ) ⊥ ( H B ) الهيكل متوازن .
الجزء الثاني: حساب طول الهيكل الخارجي ( A C D E F G ) (ACDEFG) ( A C D E F G )
المحيط الخارجي للهيكل يتكون من القطع: A C + C D + D E + E F + F G + G A AC + CD + DE + EF + FG + GA A C + C D + D E + E F + F G + G A
بما أن المستقيَم ( A E ) (AE) ( A E )
وعليه فإن الطول الإجمالي للهيكل الخارجي يعطى بالعبارة:
L = 2 × ( A C + C D + D E ) L = 2 \times (AC + CD + DE) L = 2 × ( A C + C D + D E )
في المثلث A E C AEC A E C
لدينا
( M B ) ⊥ ( A E ) (MB) \perp (AE) ( M B ) ⊥ ( A E ) (لأن المثلث
A M B AMB A M B قائم في
M M M ).
ولدينا
( E C ) ⊥ ( A E ) (EC) \perp (AE) ( E C ) ⊥ ( A E ) (لأن
( A E ) (AE) ( A E ) محور التناظر متعامد مع الخطوط الأفقية).
إذن ( M B ) / / ( E C ) (MB) // (EC) ( M B ) // ( E C ) ( A E ) (AE) ( A E )
تطبيق خاصية طالس في المثلث A E C AEC A E C A , M , E A, M, E A , M , E A , B , C A, B, C A , B , C
A M A E = A B A C = M B E C \frac{AM}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{MB}{EC} A E A M = A C A B = E C M B
نعوض الأطوال المعلومة (A B = 20 AB = 20 A B = 20 M B = 12 MB = 12 M B = 12 E C = 18 , 75 EC = 18,75 E C = 18 , 75
20 A C = 12 18 , 75 \frac{20}{AC} = \frac{12}{18,75} A C 20 = 18 , 75 12
نستخرج الطول A C AC A C
A C = 20 × 18 , 75 12 = 375 12 = 31 , 25 dm AC = \frac{20 \times 18,75}{12} = \frac{375}{12} = 31,25\text{ dm} A C = 12 20 × 18 , 75 = 12 375 = 31 , 25 dm
2) حساب الطولين D E DE D E C D CD C D في المثلث D E C DEC D E C E E E
الزاوية
E D C ^ = 64 ∘ \widehat{EDC} = 64^\circ E D C = 6 4 ∘ الضلع المقابل للزاوية
E D C ^ \widehat{EDC} E D C هو
E C = 18 , 75 dm EC = 18,75\text{ dm} E C = 18 , 75 dm
حساب الطول D E DE D E باستخدام الظل (tan \tan tan
tan ( E D C ^ ) = المقابل المجاور = E C D E \tan(\widehat{EDC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{EC}{DE} tan ( E D C ) = المجاور المقابل = D E E C
tan ( 64 ∘ ) = 18 , 75 D E \tan(64^\circ) = \frac{18,75}{DE} tan ( 6 4 ∘ ) = D E 18 , 75
D E = 18 , 75 tan ( 64 ∘ ) ≈ 18 , 75 2 , 0503 ≈ 9 , 1449 dm DE = \frac{18,75}{\tan(64^\circ)} \approx \frac{18,75}{2,0503} \approx 9,1449\text{ dm} D E = tan ( 6 4 ∘ ) 18 , 75 ≈ 2 , 0503 18 , 75 ≈ 9 , 1449 dm
بالتدوير إلى 0 , 01 0,01 0 , 01
D E ≈ 9 , 14 dm DE \approx 9,14\text{ dm} D E ≈ 9 , 14 dm
حساب الطول C D CD C D باستخدام الجيب (sin \sin sin
sin ( E D C ^ ) = المقابل الوتر = E C C D \sin(\widehat{EDC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{EC}{CD} sin ( E D C ) = الوتر المقابل = C D E C
sin ( 64 ∘ ) = 18 , 75 C D \sin(64^\circ) = \frac{18,75}{CD} sin ( 6 4 ∘ ) = C D 18 , 75
C D = 18 , 75 sin ( 64 ∘ ) ≈ 18 , 75 0 , 8988 ≈ 20 , 861 dm CD = \frac{18,75}{\sin(64^\circ)} \approx \frac{18,75}{0,8988} \approx 20,861\text{ dm} C D = sin ( 6 4 ∘ ) 18 , 75 ≈ 0 , 8988 18 , 75 ≈ 20 , 861 dm
بالتدوير إلى 0 , 01 0,01 0 , 01
C D ≈ 20 , 86 dm CD \approx 20,86\text{ dm} C D ≈ 20 , 86 dm
3) حساب الطول الإجمالي للهيكل الخارجي A C D E F G ACDEFG A C D E F G نجمع الأطوال للجهة اليمنى:
A C + C D + D E = 31 , 25 + 20 , 86 + 9 , 14 = 61 , 25 dm AC + CD + DE = 31,25 + 20,86 + 9,14 = 61,25\text{ dm} A C + C D + D E = 31 , 25 + 20 , 86 + 9 , 14 = 61 , 25 dm
نضرب في 2 2 2 ( A E ) (AE) ( A E )
L = 2 × 61 , 25 = 122 , 5 dm L = 2 \times 61,25 = 122,5\text{ dm} L = 2 × 61 , 25 = 122 , 5 dm طول الهيكل الخارجي A C D E F G ACDEFG A C D E F G
L = 122 , 5 dm L = 122,5\text{ dm} L = 122 , 5 dm