يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1 فقط. إذا وجد قاسم مشترك آخر غير العدد 1، فهما ليسا أوليين فيما بينهما.

العددان 195 و 260 ليسا أوليين فيما بينهما.

التبرير: نلاحظ أن آحاد العدد 195 هو 5، وآحاد العدد 260 هو 0. وحسب قواعد القابلية للقسمة، فإن كلا العددين يقبلان القسمة على 5 (أي أن 5 قاسم مشترك لهما يختلف عن 1)، وبالتالي فإن قاسمهما المشترك الأكبر أكبر تماماً من 1.

نطبق خوارزمية الفروق المتتالية أو خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 65، فإن:

نقسم كلا من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(260, 195) = 65$:

لدينا العبارة:

أولاً: نختزل الكسرين لتسهيل الحسابات:

ثانياً: نعوض الكسرين المختزلين في العبارة $E$:

ثالثاً: نوحد المقامات (المقام المشترك هو 6):

وهو المطلوب اثباته: $E = \frac{13}{6}$.

لدينا العبارة:

نحلل الأعداد داخل الجذور إلى جذاء أعداد أحدهما 5:

(حيث $a = 9$ وهو عدد طبيعي).

لدينا العبارة:

نحسب ونبسط الحدود:

نعوض في العبارة $B$:

(حيث $a = 1$ و $b = 3$ وهما عددان طبيعيان).

لدينا النسبة:

نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

نعزل المتغير $x^2$:

بما أن $8 > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

تبسيط الحلول إلى أبسط شكل:

حلول المعادلة هما العددان:

من الشكل المعطى:

نتحقق من الخاصة العكسية لنظرية فيثاغورس في المثلث $ABC$:

بما أن $BC^2 = AB^2 + AC^2$، فحسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في النقطة $A$.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن المستقيم $(AB)$ يعامد المستقيم $(AC)$.

وبما أن النقاط $B, A, E$ استقامية والنقاط $C, A, D$ استقامية، فإن المستقيم $(BE)$ يعامد المستقيم $(CD)$، أي:

أولاً: حساب الطول $AD$ في المثلث القائم $ADE$ (القائم في $A$):

نعلم أن الزاوية $\widehat{AED} = 53^\circ$ والطول المجاور لها $AE = 2.4\text{ cm}$.

استخدام ظل الزاوية $\tan$:

ثانياً: مقارنة النسبتين $\frac{AB}{AE}$ و $\frac{AC}{AD}$:

نلاحظ أن:

وبما أن النسبتين متساويتان، والنقاط $B, A, E$ والنقاط $C, A, D$ تقع على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(BC)$ و $(ED)$ متوازيان.

تُقسّم المنطقة المستطيلة ذات البُعدين $900\text{ m}$ و $480\text{ m}$ إلى مربعات متماثلة بأكبر ضلع ممكن.

طول ضلع المربع الواحد هو القاسم المشترك الأكبر للبُعدين: $d = \text{PGCD}(900, 480)$.

حساب $\text{PGCD}(900, 480)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

إذن:

طول ضلع المربع الواحد هو $60\text{ m}$.

العدو اجتاح سدس ($\frac{1}{6}$) المنطقة:

كل مربع يحتاج إلى 4 قذائف هاون لتدمير ما فيه كلياً:

عدد القذائف اللازمة لتدمير ما في المنطقة المُقتحمة هو 80 قذيفة هاون.

الشكل يمثل نموذجاً هندسياً:

المستقيمان $(BA)$ و $(CD)$ عموديان على نفس الخط الأفقي $(AE)$، بالتالي هما متوازيان: $(BA) \parallel (CD)$.

تطبيق خاصية طاليس في المثلث $BAE$:

بما أن $(BA) \parallel (CD)$ والنقاط $B, C, E$ و $A, D, E$ استقامية:

نعوض القيم المعلومة:

إذن ارتفاع البناية التي يتمركز فوقها المقاوم هو $AB = 40\text{ m}$.

حساب مدى المسار المستقبلي للقذيفة (الطول $BE$):

في المثلث القائم $BAE$ في $A$، نطبق نظرية فيثاغورس:

أقصى مدى لجميع القذائف المستخدمة هو $120\text{ m}$.

المسافة الفاصلة بين المقاوم والهدف هي $BE \approx 51.22\text{ m}$.

بما أن $51.22\text{ m} \le 120\text{ m}$:

نعم، ستصل القذيفة إلى الهدف لأن المسافة المطلوبة ($51.22\text{ m}$) أقل بكثير من أقصى مدى للسلاح المستعمل ($120\text{ m}$).

بما أن النقاط $B, C, E$ على استقامة واحدة، فإن الزاوية $\widehat{ABC}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{ABE}$ في المثلث القائم $BAE$ في $A$.

استخدام ظل الزاوية $\tan$:

باستعمال الحاسبة ($\arctan(0.8)$ أو $\text{2ndF} \rightarrow \tan$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

قيمة زاوية الرمي $\widehat{ABC}$ مقربة إلى الوحدة هي: