📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 127 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول:

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 468 و 637:

باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

637=468×1+169637 = 468 \times 1 + 169
468=169×2+130468 = 169 \times 2 + 130
169=130×1+39169 = 130 \times 1 + 39
130=39×3+13130 = 39 \times 3 + 13
39=13×3+039 = 13 \times 3 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 1313.

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(637,468)=13\text{PGCD}(637, 468) = 13

2) كتابة الكسر 468637\frac{468}{637} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

نقسم الكلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر 1313:

468637=468÷13637÷13=3649\frac{468}{637} = \frac{468 \div 13}{637 \div 13} = \frac{36}{49}
✅الإجابة النموذجية:
468637=3649\frac{468}{637} = \frac{36}{49}

3) حساب العبارة 2÷13−6374682 \div \frac{1}{3} - \sqrt{\frac{637}{468}}:

💡إضاءة وتنبيه:

نعلم أن القسمة على كسر هي ضرب في قلوبه، ونستعين بالكسر المختزل السابق لحساب الجذر التربيعي بسهولة.

الطرف الأول:
2÷13=2×3=62 \div \frac{1}{3} = 2 \times 3 = 6
الطرف الثاني:
637468=4936=4936=76\sqrt{\frac{637}{468}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} = \frac{7}{6}
الحساب الكامل:
2÷13−637468=6−76=366−76=2962 \div \frac{1}{3} - \sqrt{\frac{637}{468}} = 6 - \frac{7}{6} = \frac{36}{6} - \frac{7}{6} = \frac{29}{6}
✅الإجابة النموذجية:
2÷13−637468=2962 \div \frac{1}{3} - \sqrt{\frac{637}{468}} = \frac{29}{6}

4) كتابة المجموع KK على شكل a13a\sqrt{13}:

العبارة المعطاة:

K=513−3637+3468K = 5\sqrt{13} - 3\sqrt{637} + 3\sqrt{468}

نقوم بتبسيط ما تحت الجذور بالقسمة على 1313:

637=49×13637 = 49 \times 13
468=36×13468 = 36 \times 13

بالتعويض في العبارة KK:

K=513−349×13+336×13K = 5\sqrt{13} - 3\sqrt{49 \times 13} + 3\sqrt{36 \times 13}
K=513−3×713+3×613K = 5\sqrt{13} - 3 \times 7\sqrt{13} + 3 \times 6\sqrt{13}
K=513−2113+1813K = 5\sqrt{13} - 21\sqrt{13} + 18\sqrt{13}
K=(5−21+18)13K = (5 - 21 + 18)\sqrt{13}
K=213K = 2\sqrt{13}
✅الإجابة النموذجية:
K=213حيث a=2K = 2\sqrt{13} \quad \text{حيث } a = 2
📌

التمرين الثاني:

لدينا العددين: P=25P = 2\sqrt{5} و V=4−35V = 4 - 3\sqrt{5}.

1) حساب P2P^2 و P×VP \times V:

حساب P2P^2:
P2=(25)2=22×(5)2=4×5=20P^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20
✅الإجابة النموذجية:
P2=20P^2 = 20
حساب P×VP \times V:
P×V=25×(4−35)P \times V = 2\sqrt{5} \times (4 - 3\sqrt{5})

باستخدام خاصية التوزيع:

P×V=(25×4)−(25×35)P \times V = (2\sqrt{5} \times 4) - (2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5})
P×V=85−(6×5)=85−30P \times V = 8\sqrt{5} - (6 \times 5) = 8\sqrt{5} - 30
✅الإجابة النموذجية:
P×V=85−30P \times V = 8\sqrt{5} - 30

2) تحويل مقام النسبة VP\frac{V}{P} إلى عدد ناطق:

VP=4−3525\frac{V}{P} = \frac{4 - 3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}

نضرب البسط والمقام في 5\sqrt{5}:

VP=(4−35)×525×5\frac{V}{P} = \frac{(4 - 3\sqrt{5}) \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}}
VP=45−3×52×5=45−1510\frac{V}{P} = \frac{4\sqrt{5} - 3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{4\sqrt{5} - 15}{10}
✅الإجابة النموذجية:
VP=45−1510\frac{V}{P} = \frac{4\sqrt{5} - 15}{10}
📌

التمرين الثالث:

المعطيات:

AB=9 cmAB = 9\text{ cm}، AC=7.5 cmAC = 7.5\text{ cm}، BC=6 cmBC = 6\text{ cm}.

E∈[AB]E \in [AB] حيث AE=3 cmAE = 3\text{ cm}.

F∈[BC]F \in [BC] حيث BF=4 cmBF = 4\text{ cm}.

1) إنشاء شكل مناسب:

ننشئ المثلث ABCABC بأطوال أضلاعه المحددة باستخدام المسطرة والمدور.
نحدد النقطة EE على القطعة [AB][AB] ببعد 3 cm3\text{ cm} عن AA (وبالتالي تكون أبعد بـ 6 cm6\text{ cm} عن BB).
نحدد النقطة FF على القطعة [BC][BC] ببعد 4 cm4\text{ cm} عن BB.
نصل بين النقطتين EE و FF.

2) تبيان أن (EF)//(AC)(EF) // (AC):

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات التوازي نطبق العكسية لنظرية طاليس على المثلث ABCABC.

أولاً، نحسب طول القطعة [BE][BE]:

BE=AB−AE=9−3=6 cmBE = AB - AE = 9 - 3 = 6\text{ cm}

ثانياً، نحسب النسبتين المقارنتين:

النسبة الأولى:
BEBA=69=23\frac{BE}{BA} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
النسبة الثانية:
BFBC=46=23\frac{BF}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

نلاحظ أن:

BEBA=BFBC=23\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{2}{3}

وبما أن النقط B,E,AB, E, A والنقط B,F,CB, F, C تقع على استقامة واحدة وبنفس الترتيب:

✅الإجابة النموذجية:

حسب العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيَمين متوازيان:

(EF)//(AC)(EF) // (AC)

3) حساب الطول EFEF:

بما أن (EF)//(AC)(EF) // (AC)، فحسب خاصية طاليس:

BEBA=BFBC=EFAC\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

23=EF7.5\frac{2}{3} = \frac{EF}{7.5}
EF=7.5×23=153=5 cmEF = \frac{7.5 \times 2}{3} = \frac{15}{3} = 5\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
EF=5 cmEF = 5\text{ cm}
📌

التمرين الرابع:

المعطيات:

LM=4.8 cmLM = 4.8\text{ cm}، LN=1.4 cmLN = 1.4\text{ cm}، MN=5 cmMN = 5\text{ cm}.

1) تبيان أن المثلث LMNLMN قائم في LL:

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات أن المثلث قائم عندما تعطينا المعطيات أطوال الأضلاع الثلاثة، نستخدم النظرية العكسية لفيثاغورس.

نحسب مربع أطول ضلع (MNMN):
MN2=52=25MN^2 = 5^2 = 25
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين (LMLM و LNLN):
LM2+LN2=(4.8)2+(1.4)2=23.04+1.96=25LM^2 + LN^2 = (4.8)^2 + (1.4)^2 = 23.04 + 1.96 = 25

نلاحظ أن:

MN2=LM2+LN2=25MN^2 = LM^2 + LN^2 = 25
✅الإجابة النموذجية:

حسب العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث LMNLMN قائم في LL.

2) حساب sin⁡(LMN^)\sin(\widehat{LMN}):

في المثلث القائم LMNLMN في LL:

sin⁡(LMN^)=الضلع المقابلالوتر=LNMN\sin(\widehat{LMN}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{LN}{MN}

بالتعويض عدديًا:

sin⁡(LMN^)=1.45=0.28\sin(\widehat{LMN}) = \frac{1.4}{5} = 0.28
✅الإجابة النموذجية:
sin⁡(LMN^)=0.28\sin(\widehat{LMN}) = 0.28

3) حساب الطول RSRS:

المعطيات: R∈[LM]R \in [LM] حيث MR=2.5 cmMR = 2.5\text{ cm}، وSS المسقط العمودي للنقطة RR على (MN)(MN).

بما أن SS هو المسقط العمودي لـ RR على (MN)(MN)، فإن المثلث RSMRSM قائم في SS.

الزاوية RMS^\widehat{RMS} هي نفسها الزاوية LMN^\widehat{LMN}.

في المثلث القائم RSMRSM في SS:

sin⁡(RMS^)=الضلع المقابلالوتر=RSMR\sin(\widehat{RMS}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{RS}{MR}

وبما أن sin⁡(RMS^)=sin⁡(LMN^)=0.28\sin(\widehat{RMS}) = \sin(\widehat{LMN}) = 0.28:

0.28=RS2.50.28 = \frac{RS}{2.5}
RS=2.5×0.28=0.7 cmRS = 2.5 \times 0.28 = 0.7\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
RS=0.7 cmRS = 0.7\text{ cm}
📌

الوضعية الإدماجية:

الهدف: تحديد المسلك الأقصر لإيهاب للوصول من المنزل (AA) إلى المتوسطة (CC) من بين الخيارين المتاحين ومساعدته على معرفة كيف يتوصل إلى ذلك.

المسار الأول: المسلك مررًا بالمسجد (A→B→CA \rightarrow B \rightarrow C)

الشكل الهندسي: المثلث ABCABC قائم في BB وهو متساوي الساقين لأن التشفير يوضح أن AB=BCAB = BC.
الوتر AC=140 mAC = 140\text{ m}.
بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم ABCABC:
AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2

وبما أن AB=BCAB = BC:

2×AB2=14022 \times AB^2 = 140^2
2×AB2=196002 \times AB^2 = 19600
AB2=196002=9800AB^2 = \frac{19600}{2} = 9800
AB=9800≈98.99 mAB = \sqrt{9800} \approx 98.99\text{ m}

إذن: AB≈98.99 mAB \approx 98.99\text{ m} و BC≈98.99 mBC \approx 98.99\text{ m}.

الطول الإجمالي للمسار الأول (d1d_1):
d1=AB+BC≈98.99+98.99=197.98 md_1 = AB + BC \approx 98.99 + 98.99 = 197.98\text{ m}

المسار الثاني: المسلك مررًا بالمدرسة الابتدائية (A→D→CA \rightarrow D \rightarrow C)

الشكل الهندسي: المثلث ADCADC قائم في DD.
المعطيات: الوتر AC=140 mAC = 140\text{ m}، والزاوية DAC^=60∘\widehat{DAC} = 60^\circ.

1. حساب الطول ADAD:

cos⁡(DAC^)=المجاورالوتر=ADAC\cos(\widehat{DAC}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AD}{AC}
cos⁡(60∘)=AD140\cos(60^\circ) = \frac{AD}{140}
0.5=AD140  ⟹  AD=140×0.5=70 m0.5 = \frac{AD}{140} \implies AD = 140 \times 0.5 = 70\text{ m}

2. حساب الطول DCDC:

sin⁡(DAC^)=المقابلالوتر=DCAC\sin(\widehat{DAC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{DC}{AC}
sin⁡(60∘)=DC140\sin(60^\circ) = \frac{DC}{140}
0.866≈DC140  ⟹  DC≈140×0.866≈121.24 m0.866 \approx \frac{DC}{140} \implies DC \approx 140 \times 0.866 \approx 121.24\text{ m}

(ملاحظة: يمكن أيضاً حساب DCDC باستخدام خاصية فيثاغورس: DC=1402−702=14700≈121.24 mDC = \sqrt{140^2 - 70^2} = \sqrt{14700} \approx 121.24\text{ m})

الطول الإجمالي للمسار الثاني (d2d_2):
d2=AD+DC≈70+121.24=191.24 md_2 = AD + DC \approx 70 + 121.24 = 191.24\text{ m}

المقارنة والاستنتاج:

مسافة المسلك الأول (عبر المسجد): d1≈197.98 md_1 \approx 197.98\text{ m}
مسافة المسلك الثاني (عبر المدرسة الابتدائية): d2≈191.24 md_2 \approx 191.24\text{ m}

بما أن:

191.24 m<197.98 m191.24\text{ m} < 197.98\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسلك الأقصر لإيهاب للوصول إلى المتوسطة هو المسلك المرور بالمدرسة الابتدائية (المسار A→D→CA \rightarrow D \rightarrow C) بمسافة إجمالية قدرها 191.24 m191.24\text{ m} تقريبًا.