الكتابة العلمية لعدد عشري تبسط كتابته على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري يملك رقماً واحداً غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le |a| < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبى.

لدينا العبارة:

نقوم بفصل الأعداد العشريّة عن القوى العشرية:

نحسب الجزء العددي:

نحسب جزء القوى باستخدام خواص الأسس $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ و $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$:

إذن:

نكتب العدد $270$ كتابة علمية:

الكتابة العلمية للعدد $A$ هي: $A = 2.7 \times 10^2$.

يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر لهما يساوي 1 ($\gcd(a, b) = 1$). يمكن معرفة ذلك مباشرة باستخدام قواعد القابلية للقسمة دون إتمام خوارزمية إقليدس كاملة.

لاحظ أن كلا العددين زوجي (آحادهما 4 و 0)، وبالتالي يقبلان القسمة على 2. كما أن مجموع أرقام كل منهما يساوي 9 ($4+1+4=9$ و $2+7+0=9$)، مما يعني أنهما يقبلان القسمة على 9 أيضاً.

لحساب القاسم المشترك الأكبر باستعمال خوارزمية الفروق المتتابعة أو القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس):

آخر باقي غير معدوم هو 18، إذن:

العددان 414 و 270 ليسا أوليين فيما بينهما لأن القاسم المشترك الأكبر لهما أكبر من 1 ($\gcd(414, 270) = 18 \neq 1$).

لدينا:

نختزل الكسر $B$ بقسمة البسط والمقام على $\gcd(414, 270) = 18$:

نعوض قيمة $B$ المختزلة في العبارة $C$:

نلاحظ أن $C = 2$، وهو عدد ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ($2 \in \mathbb{N}$). إذن $C$ عدد طبيعي.

لدينا:

نحلل الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عدد مربع كامل في 3:

نعوض في العبارة:

كتابة الطول $MP$ على الشكل $a\sqrt{3}$ هي: $MP = 2\sqrt{3}$ (حيث $a = 2$).

لدينا:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي للمقام ($\sqrt{6}$):

كتابة النسبة بمقام ناطق تعطي: $NP = 2\sqrt{6}$.

لإثبات أن مثلثاً قائم، نطبق الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، وذلك بمقارنة مربع أطول ضلع (الوتر المفترض) مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

لدينا أطوال أضلاع المثلث $MNP$:

نحسب مربع كل طول:

نلاحظ أن:

ومنه:

بما أن العلاقة $MN^2 + MP^2 = NP^2$ محققة، فحسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $MNP$ قائم في $M$ (وهو متساوي الساقين أيضاً لأن $MN = MP$).

لدينا العبارتان:

أولاً: ننشر ونبسط العبارة $E$ (باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$):

ثانياً: ننشر ونبسط العبارة $F$ (باستعمال خاصية التوزيع):

ثالثاً: نجمع العبارتين $E + F$:

تم التبيان بنجاح أن: $E + F = 3x^2 + 5x - 6$.

نعوض القيمة $x = 1$ في العبارة المبسطة للـ $E + F$:

قيمة العبارة $E + F$ من أجل $x = 1$ هي: $2$.

لإثبات توازي مستقيمين يقطعان ضلعين في مثلث، نستخدم الخاصية العكسية لنظرية طاليس، عبر التحقق من تساوي النسبة المأخوذة من رأس التقاطع الشائع.

نحسب النسبتين المقابلتين انطلاقاً من الرأس المشترك $A$:

النسبة الأولى:

النسبة الثانية:

نلاحظ أن:

بما أن النسبتين متساويتان ($\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AD}$) والنقاط $A, B, C$ والنقاط $A, M, D$ مرتبة بنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيمين $(BM)$ و $(CD)$ متوازيان ($(BM) \parallel (CD)$).

بما أن المستقيمين متوازيان $(BM) \parallel (CD)$، حسب نظرية طاليس المباشرة لدينا:

نعوض بالأطوال المعلومة:

استخراج الطول $BM$:

الطول $BM$ يساوي: $6.5 \text{ cm}$.

الملعب على شكل مستطيل بعداه:

بما أن المسافة بين الأعمدة يجب أن تكون أكبر ما يمكن وثابتة (تكسير أطوال الأضلاع بأعداد صحيحة بدون بقايا)، فإن المسافة بين كل عمودين متتاليين تعبر عن القاسم المشترك الأكبر للبعدين $108$ و $72$.

نحسب $\gcd(108, 72)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

الباقي غير المعدوم الأخير هو 36، إذن:

المسافة بين كل عمودين متتاليين هي $36 \text{ m}$.

نحسب أولاً محيط الملعب المستطيل $P$:

عدد الأعمدة اللازمة ينشأ عن طريق قسمة المحيط الإجمالي على المسافة بين العمودين:

عدد الأعمدة اللازمة لتثبيت السياج حول الملعب هو 10 أعمدة.

مخطط المضمار يتكون من الأجزاء المتتالية: $AB$، $BC$، $CD$، $DF$، و $FM$.

الطول الإجمالي للمضمار هو:

دعنا نحسب أطوال القطع المجهولة خطوة بخطوة اعتماداً على المعطيات الهندسية:

المثلث $ABC$ قائم في $B$ (من خلال المسقط الهندسي) حيث الوتر $AC = 122 \text{ m}$ والزاوية الحادة $\widehat{BAC} = 41^\circ$.

نعلم أن $\cos(41^\circ) \approx 0.7547$:

نعلم أن $\sin(41^\circ) \approx 0.6561$:

معطى مستقيم مسار مستوٍ:

لدينا:

حسب نظرية فيثاغورس:

المستقيمان $(HE)$ و $(GF)$ عموديان على نفس المستقيم العمودي $(DG)$، إذن هما متوازيان $(HE) \parallel (GF)$.

حسب نظرية طاليس:

نعوض القيم المعلومة ($DG = 20 \text{ m}$):

معطى في الوثيقة:

نجمع كافة الأجزاء المحسوبة والمعلومة:

طول المضمار الإجمالي الذي سيسلكه بلال هو $401.91 \text{ m}$ (أو بالتقريب إلى الوحدة: $402 \text{ m}$).