📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 129 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (03.5 نقطة)

1) حساب العدد AA:

العبارة المعطاة:

A=13÷3−3×13A = \frac{1}{3} \div 3 - 3 \times \frac{1}{3}
💡إضاءة وتنبيه:

عند أداء العمليات على الأعداد الناطقة، تعطى أولوية الحساب للضرب والقسمة قبل الجمع والطرح، مع تحويل القسمة إلى ضرب في المقلوب.

حساب القسمة:
13÷3=13×13=19\frac{1}{3} \div 3 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}
حساب الضرب:
3×13=33=13 \times \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1
التعويض في العبارة AA:
A=19−1=19−99=1−99=−89A = \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = \frac{1 - 9}{9} = -\frac{8}{9}
✅الإجابة النموذجية:

قيمة العدد AA هي:

A=−89A = -\frac{8}{9}

2) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 189 و 168 (PGCD(189;168)\text{PGCD}(189; 168)):

باستعمال خوارزمية قسمات إقليدس المتتالية (خوارزمية إقليدس):

189=168×1+21189 = 168 \times 1 + 21
168=21×8+0168 = 21 \times 8 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 2121، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(189;168)=21\text{PGCD}(189; 168) = 21

3) حساب النسبية xy\frac{x}{y} وتبيين أن xy+A=0\frac{x}{y} + A = 0:

حساب النسبية xy\frac{x}{y}:

لدينا المساواة: 189x=168y189x = 168y

ومنه:

xy=168189\frac{x}{y} = \frac{168}{189}

بختزال الكسر باختزاله على القاسم المشترك الأكبر 2121:

xy=168÷21189÷21=89\frac{x}{y} = \frac{168 \div 21}{189 \div 21} = \frac{8}{9}
إثبات أن xy+A=0\frac{x}{y} + A = 0:

نعوض بقيمة xy=89\frac{x}{y} = \frac{8}{9} وقيمة A=−89A = -\frac{8}{9}:

xy+A=89+(−89)=8−89=0\frac{x}{y} + A = \frac{8}{9} + \left( -\frac{8}{9} \right) = \frac{8 - 8}{9} = 0
✅الإجابة النموذجية:

تم إثبات أن: xy+A=0\frac{x}{y} + A = 0.

📌

التمرين الثاني: (03.5 نقطة)

لتكن العبارة:

F=(x+3)2−(x−3)(x+3)F = (x + 3)^2 - (x - 3)(x + 3)

1) نشر وتبسيط العبارة FF:

نشر الحد الأول باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
(x+3)2=x2+2(x)(3)+32=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9
نشر الحد الثاني باستعمال المتطابقة الشهيرة الثالثة (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2:
(x−3)(x+3)=x2−32=x2−9(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9
تجميع وتبسيط العبارة FF:
F=(x2+6x+9)−(x2−9)F = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 9)
F=x2+6x+9−x2+9F = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9
F=(x2−x2)+6x+(9+9)=6x+18F = (x^2 - x^2) + 6x + (9 + 9) = 6x + 18
✅الإجابة النموذجية:

العبارة المبسطة هي:

F=6x+18F = 6x + 18

2) التبيين أنه من أجل x=13x = \frac{1}{3}، يكون F=20F = 20:

نعوض xx بالفيما يساويه 13\frac{1}{3} في العبارة المبسطة:

F=6(13)+18F = 6 \left( \frac{1}{3} \right) + 18
F=63+18=2+18=20F = \frac{6}{3} + 18 = 2 + 18 = 20
✅الإجابة النموذجية:

بالفعل، من أجل x=13x = \frac{1}{3}، نجد F=20F = 20.

3) حل المعادلة x2−29=Fx^2 - 29 = F:

بالاستعانة بقيمة F=20F = 20 المحسوبة في الفرع السابق (أو بتعويض العبارة):

إذا أخذنا قيمة F=20F = 20:

x2−29=20x^2 - 29 = 20
x2=20+29x^2 = 20 + 29
x2=49x^2 = 49

بما أن 49>049 > 0، فإن المعادلة تقبل حلين متعاكسين هما:

x=49=7أوx=−49=−7x = \sqrt{49} = 7 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{49} = -7
💡إضاءة وتنبيه:

إذا تم تعويض العبارة العامة F=6x+18F = 6x + 18 تصبح المعادلة من الشكل الدرجة الثانية، لكن النموذج الرسمي للسنة الرابعة متوسط يعتمد على استغلال النتيجة السابقة F=20F = 20 لتصبح معادلة من الشكل x2=ax^2 = a.

✅الإجابة النموذجية:

حلا المعادلة هما:

x=7وx=−7x = 7 \quad \text{و} \quad x = -7
📌

التمرين الثالث: (04.5 نقطة)

1) كتابة العددين على الشكل aba\sqrt{b}:

العدد الأول: 27+48\sqrt{27} + \sqrt{48}
27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
48=16×3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}
27+48=33+43=(3+4)3=73\sqrt{27} + \sqrt{48} = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (3 + 4)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
العدد الثاني: 300−75+23\sqrt{300} - \sqrt{75} + 2\sqrt{3}
300=100×3=103\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}
75=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}
300−75+23=103−53+23=(10−5+2)3=73\sqrt{300} - \sqrt{75} + 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (10 - 5 + 2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

كلا العددين يكتبان على الشكل: 737\sqrt{3}.

2) نوع الرباعي ABCDABCD وتبريره:

من خلال الشكل والنتائج السابقة:

الطول AD=73AD = 7\sqrt{3}.
الطول AB=27+48=73AB = \sqrt{27} + \sqrt{48} = 7\sqrt{3}.
الرباعي يحتوي على زوايا قائمة (كما هو موضح في الرسم).
✅الإجابة النموذجية:

الرباعي ABCDABCD هو مربع؛ لأن فيه زوايا قائمة، وضلعان متجاوران متساويان في الطول (AB=AD=73AB = AD = 7\sqrt{3}).

3) حساب طول القطر [BD][BD] بالتقريب إلى 0.010.01:

في المثلث القائم ABDABD في AA، وحسب خاصية فيثاغورس:

BD2=AB2+AD2BD^2 = AB^2 + AD^2

نعوض القيم:

BD2=(73)2+(73)2BD^2 = (7\sqrt{3})^2 + (7\sqrt{3})^2
(73)2=49×3=147(7\sqrt{3})^2 = 49 \times 3 = 147
BD2=147+147=294BD^2 = 147 + 147 = 294
BD=294≈17.1464 cmBD = \sqrt{294} \approx 17.1464 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

بالتدوير إلى 0.010.01، طول القطر هو:

BD≈17.15 cmBD \approx 17.15 \text{ cm}

4) تحويل مقام النسبية 7−373\frac{7 - \sqrt{3}}{7\sqrt{3}} إلى مقام ناطق:

نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الأصم 3\sqrt{3}:

7−373=(7−3)×373×3=73−(3)27×3=73−321\frac{7 - \sqrt{3}}{7\sqrt{3}} = \frac{(7 - \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{7\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{7 \times 3} = \frac{7\sqrt{3} - 3}{21}
✅الإجابة النموذجية:

النسبية بمقام ناطق هي:

73−321\frac{7\sqrt{3} - 3}{21}
📌

التمرين الرابع: (03.5 نقطة)

الأطوال المعطاة في الشكل:

AB=3.6 cmAB = 3.6 \text{ cm}، AC=4.8 cmAC = 4.8 \text{ cm}، BC=6 cmBC = 6 \text{ cm}، BE=3.9 cmBE = 3.9 \text{ cm}، CD=5.2 cmCD = 5.2 \text{ cm}.

1) إثبات أن المثلث ABCABC قائم:

في المثلث ABCABC، أطول ضلع هو BC=6 cmBC = 6 \text{ cm}.

نحسب مربع أطول ضلع:
BC2=62=36BC^2 = 6^2 = 36
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
AB2+AC2=(3.6)2+(4.8)2=12.96+23.04=36AB^2 + AC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36

نلاحظ أن: BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2.

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث ABCABC قائم في النقطة AA.

2) حساب قيس الزاوية ACB^\widehat{ACB} بالتعدوير إلى الوحدة:

بما أن المثلث ABCABC قائم في AA:

cos⁡(ACB^)=الضلع المجاورالوتر=ACBC=4.86=0.8\cos(\widehat{ACB}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4.8}{6} = 0.8

باستعمال الآلة الحاسبة (shift+cos⁡\text{shift} + \cos أو cos⁡−1(0.8)\cos^{-1}(0.8)):

ACB^≈36.8698∘\widehat{ACB} \approx 36.8698^\circ
✅الإجابة النموذجية:

بالتعدوير إلى الوحدة، قيس الزاوية هو:

ACB^≈37∘\widehat{ACB} \approx 37^\circ

3) إثبات أن (BC)∥(ED)(BC) \parallel (ED):

النقط A,B,EA, B, E في استقامية وبهذا الترتيب، والنقط A,C,DA, C, D في استقامية وبهذا الترتيب.

حساب الأطوال الكلية:
AE=AB+BE=3.6+3.9=7.5 cmAE = AB + BE = 3.6 + 3.9 = 7.5 \text{ cm}
AD=AC+CD=4.8+5.2=10 cmAD = AC + CD = 4.8 + 5.2 = 10 \text{ cm}
حساب النسبة الأولى:
ABAE=3.67.5=0.48\frac{AB}{AE} = \frac{3.6}{7.5} = 0.48
حساب النسبة الثانية:
ACAD=4.810=0.48\frac{AC}{AD} = \frac{4.8}{10} = 0.48

بما أن ABAE=ACAD=0.48\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} = 0.48، والنقاط A,B,EA, B, E و A,C,DA, C, D مرتبة بنفس الترتيب:

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لطاليس، فإن المستقيمين متوازيان:

(BC)∥(ED)(BC) \parallel (ED)
📌

الوضعية الإدماجية: (05 نقاط)

للإجابة عن السؤال الرئيسي: "هل يستطيع السيد زياد تحقيق مشروعه؟"، يجب حساب التكلفة الإجمالية للمشروع ومقارنتها بالمبلغ الذي يملكه (90000 DA90000 \text{ DA}).

يتكون المشروع من شقين:

1. إحاطة قطعة الأرض بأشجار.

2. توصيل أنبوب الماء من المنزل عند DD إلى البئر عند HH مروراً بـ AA و GG.

أولاً: حساب تكلفة غرس الأشجار

1) حساب المسافة بين كل شجرتين متتاليتين:

المسافة متساوية وأكبر ما يمكن، إذن هي القاسم المشترك الأكبر لأبعاد قطعة الأرض المستطيلة (L=65 mL = 65 \text{ m} و W=30 mW = 30 \text{ m}):

d=PGCD(65;30)d = \text{PGCD}(65; 30)

باستعمال خوارزمية القسمة:

65=30×2+565 = 30 \times 2 + 5
30=5×6+030 = 5 \times 6 + 0

إذن: PGCD(65;30)=5 m\text{PGCD}(65; 30) = 5 \text{ m}.

المسافة بين كل شجرتين هي 5 m5 \text{ m}.

2) حساب محيط القطعة المستطيلة ABCDABCD:
P=2×(AB+AD)=2×(65+30)=2×95=190 mP = 2 \times (AB + AD) = 2 \times (65 + 30) = 2 \times 95 = 190 \text{ m}
3) حساب عدد الأشجار اللازمة:
N=Pd=1905=38 شجرةN = \frac{P}{d} = \frac{190}{5} = 38 \text{ شجرة}
4) حساب تكلفة الأشجار:
تكلفة الأشجار=38×150=5700 DA\text{تكلفة الأشجار} = 38 \times 150 = 5700 \text{ DA}

ثانياً: حساب طول الأنبوب وتكلفته

مسار الأنبوب هو: D→A→G→HD \rightarrow A \rightarrow G \rightarrow H

الطول الكلي للأنبوب Lالأنبوب=DA+AG+GHL_{\text{الأنبوب}} = DA + AG + GH.

1) الطول DADA:

من خصائص المستطيل ABCDABCD، لدينا DA=30 mDA = 30 \text{ m}.

2) حساب الطول AGAG:

في المثلث DAGDAG القائم في AA، وحسب خاصية فيثاغورس (علماً أن الوتر DG=62.4 mDG = 62.4 \text{ m}):

DG2=DA2+AG2  ⟹  AG2=DG2−DA2DG^2 = DA^2 + AG^2 \implies AG^2 = DG^2 - DA^2
AG2=(62.4)2−(30)2=3893.76−900=2993.76AG^2 = (62.4)^2 - (30)^2 = 3893.76 - 900 = 2993.76
AG=2993.76≈54.72 mAG = \sqrt{2993.76} \approx 54.72 \text{ m}
3) الطول GHGH:

من معطيات الشكل، الطول المعطى لـ GH=42 mGH = 42 \text{ m}.

4) حساب الطول الكلي للأنبوب وتكلفته:
Lالأنبوب=30+54.72+42=126.72 mL_{\text{الأنبوب}} = 30 + 54.72 + 42 = 126.72 \text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة: Lالأنبوب≈127 mL_{\text{الأنبوب}} \approx 127 \text{ m}.

تكلفة الأنبوب=127×200=25400 DA\text{تكلفة الأنبوب} = 127 \times 200 = 25400 \text{ DA}

ثالثاً: حساب التكلفة الإجمالية للمشروع

تتكون التكلفة الإجمالية من: تكلفة الأشجار + تكلفة الأنبوب + أجرة العامل.

التكلفة الإجمالية=5700+25400+42000=73100 DA\text{التكلفة الإجمالية} = 5700 + 25400 + 42000 = 73100 \text{ DA}

رابعاً: المقارنة والنتيجة النهائية

المبلغ المتاح لدى السيد زياد: 90000 DA90000 \text{ DA}.
التكلفة الإجمالية للمشروع: 73100 DA73100 \text{ DA}.

نلاحظ أن:

73100 DA≤90000 DA73100 \text{ DA} \le 90000 \text{ DA}
✅الإجابة النموذجية:

نعم، يستطيع السيد زياد تحقيق مشروعه؛ لأن المبلغ الذي يملكه (90000 DA90000 \text{ DA}) يفوق التكلفة الإجمالية الإجمالية للمشروع (73100 DA73100 \text{ DA}) ويبقى لديه مبلغ قدره 16900 DA16900 \text{ DA}.