يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي $1$. للتحقق من أنهما غير أوليين فيما بينهما، يكفي إثبات أن قاسمهما المشترك الأكبر أكبر تماماً من $1$، أو إيجاد قاسم مشترك آخر غير العدد $1$.

حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $1183$ و $455$ باستعمال خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $91$، فإن:

بما أن $\text{PGCD}(1183, 455) = 91 \neq 1$، فإن العددين $1183$ و $455$ غير أوليين فيما بينهما.

لدينا المساواة:

ومنها نكتب النسبة $\frac{a}{b}$:

لاختزال الكسر $\frac{1183}{455}$، نقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(1183, 455) = 91$:

الكسر $\frac{a}{b}$ مكتوباً على شكل كسر غير قابل للاختزال هو:

العبارة المعطاة:

نعوض الكسر $\frac{1183}{455}$ بالكسر المختزل $\frac{13}{5}$ لتسهيل الحساب:

نوحد المقامات داخل القوسين:

القسمة على كسر تعني الضرب في مقلوبه:

قيمة العدد $F$ هي:

العبارة المعطاة:

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع تام والآخر $3$:

نعوض في العبارة:

نستخرج $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

كتابة $A$ على الشكل $a\sqrt{3}$:

العبارة المعطاة:

نلاحظ أن العبارة على شكل متطابقة شهيرة من الشكل $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

العدد $B = 4$، وهو عدد طبيعي ينتمي إلى $\mathbb{N}$.

نعوض قيمتي $A$ و $B$:

يمكن تبسيط الكسر أولاً باختزال $\frac{4}{10}$ إلى $\frac{2}{5}$:

لتنطيق المقام، نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي $\sqrt{3}$:

كتابة النسبة بمقام ناطق:

ننفذ الخطوات الجبرية لعزل المجهول $x^2$:

بما أن $25 > 0$، فإن للمعادلة حلان متعاكسان هما:

للمعادلة حلان هما: $x = 5$ و $x = -5$.

نستعمل المتطابقة الشهيرة الثانية $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ لنشر الجزء الأول، والنشر العادي للجزء الثاني:

1. نشر $(2x - 1)^2$:

2. نشر $(x + 2)(x - 1)$:

3. تجميع وطرح العبارتين (مع مراعاة تغيير الإشارات بسبب القوس المسبوق بإشارة ناقص):

العبارة المنسورة والمبسطة لـ $C$ هي:

نعوض قيمة $x = -1$ في العبارة المبسطة $C = 3x^2 - 5x + 3$:

قيمة العبارة $C$ من أجل $x = -1$ هي:

المعطيات: $OC = 4.5\text{ cm}$، $OD = 6\text{ cm}$، $OA = 12\text{ cm}$، $OB = 16\text{ cm}$.

للإثبات أن مستقيمين متوازيان، نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس. يجب التحقق من شرطين:

1. استقامية النقط وبنفس الترتيب.

2. تساوي النسبتين المشكلتين من أطوال أضلاع المثلثين.

النسبة الأولى:

النسبة الثانية:

نلاحظ أن:

بما أن النسبتين متساويتان $\frac{OC}{OA} = \frac{OD}{OB}$ والنقاط $C, O, A$ والنقاط $D, O, B$ استقامية وبنفس الترتيب، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، نستنتج أن المستقيمين $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان:

في المثلث $OBA$، الأطوال هي:

نطبق الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس:

نحسب مربع طول أطول ضلع (الوتر الكامن):

نحسب مجموع مربعي الطولين الآخرين:

نلاحظ أن:

بما أن المساواة $AB^2 = OA^2 + OB^2$ محققة، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث $OBA$ قائم في النقطة $O$.

بما أن المثلث $OBA$ قائم في $O$، يمكننا استخدام جيب تمام الزاوية (الظا / جيب التمام $\cos$):

نعوض بالأطوال المعلومة:

باستعمال الآلة الحاسبة (الضغط على زر `2ndF` أو `Shift` ثم `cos` للعدد $0.8$):

قيس الزاوية $\widehat{OBA}$ بالتدوير إلى الدرجة هو:

محصول الفلاح:

كلمة "أكبر عدد من التشكيلات المتماثلة" تعني إيجاد القاسم المشترك الأكبر (PGCD) للعددين $1188$ و $528$.

حساب $\text{PGCD}(1188, 528)$ باستعمال خوارزمية إقليدس:

آخر باقي غير معدوم هو $132$.

أكبر عدد من التشكيلات التي يمكن للفلاح تكوينها هو $132$ تشكيلة.

تحتوي كل تشكيلة على $9$ صناديق من البطاطا و $4$ صناديق من الجزر.

نحلل المستودع المستطيل الشكل وفق الرسم البياني:

تقتضي مساعدة الفلاح حساب مجموع محيطي القطعتين المخصصتين للإنتاج (قطعة البطاطا وقطعة الجزر).

طولا الضلعين القائمين هما: $AD = 60\text{ m}$ و $DC = 80\text{ m}$.

نحسب طول الوتر $AC$ باستعمال خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $ADC$:

محيط قطعة البطاطا $P_1$:

المثلث $ABC$ قائم في $B$، وفيه:

نطبق خاصية طاليس في المثلث $ABC$:

نعوض بالأطوال المعلومة:

محيط قطعة الجزر $P_2$:

الطول الكلي للسياج $P_{\text{total}}$ هو مجموع محيطي القطعتين:

طول السياج الواجب شراؤه لإحاطة قطعتي الأرض (البطاطا والجزر) هو $432$ متراً.