📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 138 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول

📌

التمرين الأول

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 512 و 192:

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

512=192×2+128512 = 192 \times 2 + 128
192=128×1+64192 = 128 \times 1 + 64
128=64×2+0128 = 64 \times 2 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 6464، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(512,192)=64PGCD(512, 192) = 64

2. اختزال الكسر KK إلى كسر غير قابل للاختزال:

لدينا الكسر:

K=192512K = \frac{192}{512}

نقسم كلا من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر PGCD(512,192)=64PGCD(512, 192) = 64:

K=192÷64512÷64=38K = \frac{192 \div 64}{512 \div 64} = \frac{3}{8}
✅الإجابة النموذجية:
K=38K = \frac{3}{8}
📌

التمرين الثاني

1. كتابة العدد AA على الشكل a7a\sqrt{7} حيث aa عدد طبيعي:

لدينا:

A=252−28A = \sqrt{252} - \sqrt{28}

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذر إلى جذاء عوامل أحدها مربع تام مضروب في 77:

252=36×7252 = 36 \times 7
28=4×728 = 4 \times 7

بالتعويض في عبارة AA:

A=36×7−4×7A = \sqrt{36 \times 7} - \sqrt{4 \times 7}
A=67−27A = 6\sqrt{7} - 2\sqrt{7}
A=(6−2)7=47A = (6 - 2)\sqrt{7} = 4\sqrt{7}
✅الإجابة النموذجية:
A=47(a=4)A = 4\sqrt{7} \quad (a = 4)

2. كتابة العدد BB على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

لدينا:

B=727B = \frac{7}{2\sqrt{7}}

نضرب البسط والمقام في 7\sqrt{7}:

B=7×727×7=772×7=7714B = \frac{7 \times \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{2 \times 7} = \frac{7\sqrt{7}}{14}

بإختزال العدد 77 من البسط والمقام:

B=72B = \frac{\sqrt{7}}{2}
✅الإجابة النموذجية:
B=72B = \frac{\sqrt{7}}{2}

3. تبيان أن CC هو عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

C=(A+1)(8B−1)C = (A + 1)(8B - 1)

أولاً، نحسب قيمة 8B8B:

8B=8×72=478B = 8 \times \frac{\sqrt{7}}{2} = 4\sqrt{7}

بالتعويض بـ A=47A = 4\sqrt{7} و 8B=478B = 4\sqrt{7}:

C=(47+1)(47−1)C = (4\sqrt{7} + 1)(4\sqrt{7} - 1)

نلاحظ أن هذه العبارة من الشكل المتطابقة الشهيرة الثالثة (x+y)(x−y)=x2−y2(x+y)(x-y) = x^2 - y^2:

C=(47)2−(1)2C = (4\sqrt{7})^2 - (1)^2
C=(16×7)−1C = (16 \times 7) - 1
C=112−1=111C = 112 - 1 = 111
💡إضاءة وتنبيه:

العدد 111111 هو عدد طبيعي لا يحتوي على جذور ولا على أجزاء عشرية، وهو ينتمي إلى المجموعة N\mathbb{N}.

✅الإجابة النموذجية:
C=111(111∈N)C = 111 \quad (111 \in \mathbb{N})
📌

التمرين الثالث

1. البرهان على أن المستقيمين (BC)(BC) و (NM)(NM) متوازيان:

من الشكل والمعطيات:

المستقيم (BC)(BC) عمودي على المستقيم (CM)(CM) في النقطة CC (لأن الزاويه BCO^\widehat{BCO} قائمة).
المستقيم (NM)(NM) عمودي على المستقيم (CM)(CM) في النقطة MM (لأن الزاويه NMO^\widehat{NMO} قائمة).
💡إضاءة وتنبيه:

الخاصية الهندسيّة: "إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان".

بما أن (BC)⊥(CM)(BC) \perp (CM) و (NM)⊥(CM)(NM) \perp (CM)، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
(BC)∥(NM)(BC) \parallel (NM)

2. تبيان أن OBON=0.6\frac{OB}{ON} = 0.6:

بما أن المستقيمين (BN)(BN) و (CM)(CM) متقاطعان في النقطة OO، والمستقيمين (BC)(BC) و (NM)(NM) متوازيان، فبحسب خاصية طاليس نجد:

OCOM=OBON=BCNM\frac{OC}{OM} = \frac{OB}{ON} = \frac{BC}{NM}

لدينا الأطوال: OC=9 cmOC = 9\text{ cm} و OM=15 cmOM = 15\text{ cm}.

بالتعويض:

OBON=915\frac{OB}{ON} = \frac{9}{15}

بقسمة البسط والمقام على 3:

OBON=35=0.6\frac{OB}{ON} = \frac{3}{5} = 0.6
✅الإجابة النموذجية:
OBON=0.6\frac{OB}{ON} = 0.6

3. حساب الطول OBOB إذا علمت أن ON=17.5 cmON = 17.5\text{ cm}:

من العلاقة السابقة لدينا:

OBON=0.6  ⟹  OB=0.6×ON\frac{OB}{ON} = 0.6 \implies OB = 0.6 \times ON

بالتعويض بقيمة ON=17.5 cmON = 17.5\text{ cm}:

OB=0.6×17.5=10.5 cmOB = 0.6 \times 17.5 = 10.5\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
OB=10.5 cmOB = 10.5\text{ cm}
📌

التمرين الرابع

1. تبيان أن STR^=24∘\widehat{STR} = 24^\circ:

في الدائرة (C)(C):

الزاويه SOR^\widehat{SOR} هي زاوية مركزية تحصر القوس SR^\widehat{SR}، وقياسها 48∘48^\circ.
الزاويه STR^\widehat{STR} هي زاوية محيطية تحصر نفس القوس SR^\widehat{SR}.
💡إضاءة وتنبيه:

قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تشترك معها في نفس القوس.

STR^=SOR^2=48∘2=24∘\widehat{STR} = \frac{\widehat{SOR}}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ
✅الإجابة النموذجية:
STR^=24∘\widehat{STR} = 24^\circ

2. التعليل أن المثلث SRTSRT قائم في RR:

المثلث SRTSRT مرسوم داخل الدائرة (C)(C)، والضلع [ST][ST] هو قطر لهذه الدائرة.

💡إضاءة وتنبيه:

خاصية الدائرة المحيطة بـ مثلث: "إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به، فإن هذا المثلث قائم في الرأس المعاكس لهذا الضلع".

وبالتالي، فإن المثلث SRTSRT قائم في الرأس RR.

✅الإجابة النموذجية:

المثلث SRTSRT قائم في RR لأن ضلعه [ST][ST] قطر للدائرة المحيطة به (C)(C).

3. حساب الطول RSRS بالتدوير إلى 0.010.01:

في المثلث القائم SRTSRT في RR:

sin⁡(STR^)=الضلع المقابلالوتر=RSST\sin(\widehat{STR}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{RS}{ST}

نعوض بالقيم المعلومة: STR^=24∘\widehat{STR} = 24^\circ و ST=7 cmST = 7\text{ cm}:

sin⁡(24∘)=RS7\sin(24^\circ) = \frac{RS}{7}
RS=7×sin⁡(24∘)RS = 7 \times \sin(24^\circ)

باستعمال الحاسبة:

sin⁡(24∘)≈0.4067366\sin(24^\circ) \approx 0.4067366
RS≈7×0.4067366=2.847156 cmRS \approx 7 \times 0.4067366 = 2.847156\text{ cm}

بالتدوير إلى 0.010.01 (جزء من مئة):

✅الإجابة النموذجية:
RS≈2.85 cmRS \approx 2.85\text{ cm}
📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية

المشهد الأول: رصد العدو

1. حساب بعد الدبابة عن البرج (الطول CACA):

المثلث BCABCA قائم في CC (البرج شاقولي على الأرض).

ارتفاع البرج: BC=45 mBC = 45\text{ m}.
زاوية المراقبة عند أعلى البرج: CBA^=75∘\widehat{CBA} = 75^\circ.

في المثلث القائم BCABCA:

tan⁡(CBA^)=الضلع المقابلالضلع المجاور=CABC\tan(\widehat{CBA}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{CA}{BC}
tan⁡(75∘)=CA45\tan(75^\circ) = \frac{CA}{45}
CA=45×tan⁡(75∘)CA = 45 \times \tan(75^\circ)

باستعمال الحاسبة:

tan⁡(75∘)≈3.73205\tan(75^\circ) \approx 3.73205
CA=45×3.73205=167.942 mCA = 45 \times 3.73205 = 167.942\text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة:

✅الإجابة النموذجية:

بعد الدبابة عن قاعدة البرج هو:

CA≈168 mCA \approx 168\text{ m}

2. حساب الارتفاع الذي تحلق منه الطائرة المقاتلة (الطول EDED):

يتكون الارتفاع الكلي للطائرة عن الأرض EDED من جزأين:

ED=EF+FDED = EF + FD

حيث:

FD=BC=45 mFD = BC = 45\text{ m} (مستوى ارتفاع أعلى البرج عن الأرض).
EFEF هو الارتفاع العمودي للطائرة فوق مستوى أعلى البرج في المثلث القائم EFBEFB في FF.

في المثلث القائم EFBEFB في FF:

الوتر BE=190 mBE = 190\text{ m}.
الزاوية EBF^=60∘\widehat{EBF} = 60^\circ.
sin⁡(EBF^)=الضلع المقابلالوتر=EFBE\sin(\widehat{EBF}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{EF}{BE}
sin⁡(60∘)=EF190\sin(60^\circ) = \frac{EF}{190}
EF=190×sin⁡(60∘)EF = 190 \times \sin(60^\circ)

باستعمال الحاسبة:

sin⁡(60∘)≈0.866025\sin(60^\circ) \approx 0.866025
EF=190×0.866025=164.545 mEF = 190 \times 0.866025 = 164.545\text{ m}

إذن الارتفاع الكلي للطائرة:

ED=164.545+45=209.545 mED = 164.545 + 45 = 209.545\text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة:

✅الإجابة النموذجية:

الارتفاع الذي تحلق منه الطائرة هو:

ED≈210 mED \approx 210\text{ m}

المشهد الثاني: المواجهة

3. حساب المسافة بين الطائرة والقذيفة عند انفجارها (الطول NONO):

من الشكل والشروط الهندسية:

الارتفاع العمودي للطائرة عن الأرض: NM=210 mNM = 210\text{ m}.
الارتفاع العمودي لنقطة الانفجار OO عن الأرض: OR=180 mOR = 180\text{ m}.
المسافة من الدبابة KK إلى نقطة الانفجار OO: OK=540 mOK = 540\text{ m}.
بما أن (NM)⊥(MK)(NM) \perp (MK) و (OR)⊥(MK)(OR) \perp (MK)، فإن المستقيمين (NM)(NM) و (OR)(OR) متوازيان: (NM)∥(OR)(NM) \parallel (OR).

تتقاطع القطعتان المستقيمتان في النقطة KK. بتطبيق خاصية طاليس في المثلث NMKNMK:

KOKN=ORNM\frac{KO}{KN} = \frac{OR}{NM}

بالتعويض بالأطوال المعلومة:

540KN=180210\frac{540}{KN} = \frac{180}{210}

حساب الطول الكلي KNKN:

KN=540×210180KN = \frac{540 \times 210}{180}
KN=3×210=630 mKN = 3 \times 210 = 630\text{ m}

المسافة بين الطائرة NN ونقطة الانفجار OO هي الطول NONO:

NO=KN−KONO = KN - KO
NO=630−540=90 mNO = 630 - 540 = 90\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسافة بين الطائرة والقذيفة عند انفجارها هي:

NO=90 mNO = 90\text{ m}