📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 140 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول: القاسم المشترك الأكبر والحساب على الكسور

1) حساب العدد الأقصى من الغرف التي يمكن أن يحتوي عليها كل طابق

💡إضاءة وتنبيه:

لكي يكون عدد الغرف في كل طابق متساوياً وأكبراً ما يمكن في كلا الفندقين، يجب أن يكون هذا العدد هو القاسم المشترك الأكبر (\text{PGCD}) لعددي الغرف الإجماليين 420420 و 360360.

نحسب PGCD(420,360)\text{PGCD}(420, 360) باستخدام خوارزمية أقليدس (القسمات المتتالية):

420=360×1+60420 = 360 \times 1 + 60
360=60×6+0360 = 60 \times 6 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 6060.

✅الإجابة النموذجية:

العدد الأقصى من الغرف التي يمكن أن يحتوي عليها كل طابق هو 6060 غرفة.

2) حساب عدد طوابق فندق فريد وعدد طوابق فندق سمير

عدد طوابق فندق فريد (يحتوي على 420 غرفة):
عدد الطوابق=42060=7 طوابق\text{عدد الطوابق} = \frac{420}{60} = 7 \text{ طوابق}
عدد طوابق فندق سمير (يحتوي على 360 غرفة):
عدد الطوابق=36060=6 طوابق\text{عدد الطوابق} = \frac{360}{60} = 6 \text{ طوابق}
✅الإجابة النموذجية:
عدد طوابق فندق فريد هو 77 طوابق.
عدد طوابق فندق سمير هو 66 طوابق.

3) اختزال الكسر 420360\frac{420}{360} ثم حساب العبارة LL

اختزال الكسر 420360\frac{420}{360}:

نقسم كلا من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر 6060:

420360=420÷60360÷60=76\frac{420}{360} = \frac{420 \div 60}{360 \div 60} = \frac{7}{6}
حساب العبارة LL:
L=420360+53×72L = \frac{420}{360} + \frac{5}{3} \times \frac{7}{2}

نعوض الكسر الاختزالي 420360\frac{420}{360} بـ 76\frac{7}{6}:

L=76+(5×73×2)L = \frac{7}{6} + \left( \frac{5 \times 7}{3 \times 2} \right)
L=76+356=7+356=426=7L = \frac{7}{6} + \frac{35}{6} = \frac{7 + 35}{6} = \frac{42}{6} = 7
✅الإجابة النموذجية:

الكسر المختزل هو 76\frac{7}{6}، وقيمة العبارة LL هي 77.

📌

التمرين الثاني: الحساب على الجذور الصماء

1) كتابة العدد EE على الشكل a2a\sqrt{2}

لدينا العبارة:

E=98+32−50E = \sqrt{98} + \sqrt{32} - \sqrt{50}

نكتب الأعداد تحت الجذور على شكل جذاء عددين أحدهما 22:

98=49×2=49×2=72\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}
32=16×2=16×2=42\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}
50=25×2=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}

بالتعويض في العبارة EE:

E=72+42−52=(7+4−5)2=62E = 7\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (7 + 4 - 5)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة EE على الشكل a2a\sqrt{2} هي E=62E = 6\sqrt{2}.

2) جعل مقام النسبة FF عدداً ناطقاً

لدينا:

F=52F = \frac{5}{\sqrt{2}}

نضرب البسط والمقام في 2\sqrt{2}:

F=5×22×2=522F = \frac{5 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
✅الإجابة النموذجية:

النسبة بعد جعل مقامها عدداً ناطقاً هي F=522F = \frac{5\sqrt{2}}{2}.

3) تبيان أن: E×F=30E \times F = 30

نعوض قيمتي EE و FF المحسوبتين:

E×F=(62)×(522)E \times F = (6\sqrt{2}) \times \left( \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)
E×F=6×5×2×22E \times F = \frac{6 \times 5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}

بما أن 2×2=2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2:

E×F=30×22=30E \times F = \frac{30 \times 2}{2} = 30
✅الإجابة النموذجية:

تم التبيان بنجاح أن E×F=30E \times F = 30.

📌

التمرين الثالث: خاصية طاليس في الهندسة

حساب الطولين FCFC و EFEF

💡إضاءة وتنبيه:

للتمكن من تطبيق خاصية طاليس المباشرة، نتحقق من التوازي واستقامة النقاط بنفس الترتيب.

في الشكل المرفق:

النقاط A,E,BA, E, B على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.
النقاط A,F,CA, F, C على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.
المستقيمان (EF)(EF) و (BC)(BC) متوازيان: (EF)//(BC)(EF) // (BC).

أولاً، نحسب الطول الإجمالي ABAB:

AB=AE+EB=4+6=10 cmAB = AE + EB = 4 + 6 = 10 \text{ cm}

تطبيق خاصية طاليس:

AEAB=AFAC=EFBC\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

410=8AC=EF14\frac{4}{10} = \frac{8}{AC} = \frac{EF}{14}
حساب الطول ACAC ثم استنتاج FCFC:
AC=8×104=804=20 cmAC = \frac{8 \times 10}{4} = \frac{80}{4} = 20 \text{ cm}

بما أن FF نقطة من قطعة المستقيم [AC][AC]، فإن:

FC=AC−AF=20−8=12 cmFC = AC - AF = 20 - 8 = 12 \text{ cm}
حساب الطول EFEF:
EF=4×1410=5610=5.6 cmEF = \frac{4 \times 14}{10} = \frac{56}{10} = 5.6 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
الطول FC=12 cmFC = 12 \text{ cm}.
الطول EF=5.6 cmEF = 5.6 \text{ cm}.
📌

التمرين الرابع: النسب المثلثية في المثلث القائم

1) حساب sin⁡A^\sin \hat{A}

💡إضاءة وتنبيه:

نستخدم العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام لأي زاوية حادة: cos⁡2A^+sin⁡2A^=1\cos^2 \hat{A} + \sin^2 \hat{A} = 1.

لدينا cos⁡A^=0.8\cos \hat{A} = 0.8:

cos⁡2A^+sin⁡2A^=1\cos^2 \hat{A} + \sin^2 \hat{A} = 1
(0.8)2+sin⁡2A^=1(0.8)^2 + \sin^2 \hat{A} = 1
0.64+sin⁡2A^=10.64 + \sin^2 \hat{A} = 1
sin⁡2A^=1−0.64=0.36\sin^2 \hat{A} = 1 - 0.64 = 0.36

بما أن الجيب قيمة موجبة:

sin⁡A^=0.36=0.6\sin \hat{A} = \sqrt{0.36} = 0.6
✅الإجابة النموذجية:

قيمة sin⁡A^=0.6\sin \hat{A} = 0.6.

2) استنتاج tan⁡A^\tan \hat{A}

نستخدم قانون ظل الزاوية الحادة:

tan⁡A^=sin⁡A^cos⁡A^\tan \hat{A} = \frac{\sin \hat{A}}{\cos \hat{A}}

بالتعويض:

tan⁡A^=0.60.8=0.75\tan \hat{A} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75
✅الإجابة النموذجية:

قيمة tan⁡A^=0.75\tan \hat{A} = 0.75.

📌

الوضعية الإدماجية: تطبيقات الحساب المثلثي وخاصية طاليس

الجزء الأول: تسديدة اللاعب رياض محرز

المثلث ABCABC قائم في BB لأن القائم [BC][BC] عمودي على سطح الأرض (AB)(AB).

معطيات الجزء الأول:

الزاوية BAC^=15∘\widehat{BAC} = 15^\circ
علو العارضة BC=2.4 mBC = 2.4 \text{ m}

1) حساب بعد اللاعب محرز عن المرمى (ABAB)

في المثلث القائم ABCABC في BB:

tan⁡BAC^=الضلع المقابلالضلع المجاور=BCAB\tan \widehat{BAC} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{BC}{AB}
tan⁡(15∘)=2.4AB  ⟹  AB=2.4tan⁡(15∘)\tan(15^\circ) = \frac{2.4}{AB} \implies AB = \frac{2.4}{\tan(15^\circ)}

باستعمال الحاسبة: tan⁡(15∘)≈0.267949\tan(15^\circ) \approx 0.267949

AB=2.40.267949≈8.9569 mAB = \frac{2.4}{0.267949} \approx 8.9569 \text{ m}

بالتقريب إلى 0.010.01 بالنقصان:

✅الإجابة النموذجية:

بعد اللاعب محرز عن المرمى هو AB≈8.95 mAB \approx 8.95 \text{ m}.

2) حساب المسافة ACAC التي قطعتها الكرة للوصول إلى أعلى القائم

في المثلث القائم ABCABC في BB:

sin⁡BAC^=الضلع المقابلالوتر=BCAC\sin \widehat{BAC} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AC}
sin⁡(15∘)=2.4AC  ⟹  AC=2.4sin⁡(15∘)\sin(15^\circ) = \frac{2.4}{AC} \implies AC = \frac{2.4}{\sin(15^\circ)}

باستعمال الحاسبة: sin⁡(15∘)≈0.258819\sin(15^\circ) \approx 0.258819

AC=2.40.258819≈9.2728 mAC = \frac{2.4}{0.258819} \approx 9.2728 \text{ m}

بالتقريب إلى 0.010.01 بالنقصان:

✅الإجابة النموذجية:

المسافة التي قطعتها الكرة هي AC≈9.27 mAC \approx 9.27 \text{ m}.

الجزء الثاني: تسديدة اللاعب يوسف بلايلي

المثلث EBDEBD قائم في BB.

معطيات الجزء الثاني:

BD=6.15 mBD = 6.15 \text{ m}
BE=1.6 mBE = 1.6 \text{ m}

1) حساب قيس الزاوية EDB^\widehat{EDB} (بالتدوير إلى الوحدة)

في المثلث القائم EBDEBD في BB:

tan⁡EDB^=BEBD=1.66.15≈0.26016\tan \widehat{EDB} = \frac{BE}{BD} = \frac{1.6}{6.15} \approx 0.26016

باستخدام اللمسة 2ndF+tan⁡2^{\text{nd}}F + \tan أو tan⁡−1\tan^{-1} في الحاسبة:

EDB^≈14.58∘\widehat{EDB} \approx 14.58^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية EDB^\widehat{EDB} بالتدوير إلى الوحدة هو 15∘15^\circ.

2) حساب المسافة DEDE التي قطعتها الكرة للوصول إلى النقطة EE

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم EBDEBD في BB:

DE2=BE2+BD2DE^2 = BE^2 + BD^2
DE2=(1.6)2+(6.15)2DE^2 = (1.6)^2 + (6.15)^2
DE2=2.56+37.8225=40.3825DE^2 = 2.56 + 37.8225 = 40.3825
DE=40.3825≈6.3547 mDE = \sqrt{40.3825} \approx 6.3547 \text{ m}

بالتقريب إلى 0.010.01 بالنقصان:

✅الإجابة النموذجية:

المسافة DEDE التي قطعتها الكرة هي DE≈6.35 mDE \approx 6.35 \text{ m}.

3) تبيان أن مسار كرة محرز (AC)(AC) يوازي مسار كرة بلايلي (DE)(DE)

💡إضاءة وتنبيه:

يمكن إثبات التوازي باستعمال خاصية الزوايا المتماثلة المتساوية.

1. الزاوية BAC^\widehat{BAC} التي يشكلها مسار كرة محرز مع الأرض تساوي 15∘15^\circ.

2. الزاوية EDB^\widehat{EDB} التي يشكلها مسار كرة بلايلي مع الأرض تساوي 15∘15^\circ (بعد التدوير إلى الوحدة).

3. الزاويتان BAC^\widehat{BAC} و EDB^\widehat{EDB} تقعان في نفس الجهة بالنسبة للقاطع (AB)(AB) وفي نفس الوضعية بالنسبة للمستقيمين (AC)(AC) و (DE)(DE)، فهما زاويتان متماثلتان.

بما أن الزاويتين المتماثلتين متساويتان (BAC^=EDB^=15∘\widehat{BAC} = \widehat{EDB} = 15^\circ)، فإن المستقيمين (AC)(AC) و (DE)(DE) متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:

بما أن الزاويتين المتماثلتين BAC^\widehat{BAC} و EDB^\widehat{EDB} متساويتان وقيس كل منهما 15∘15^\circ، فإن مسار كرة محرز (AC)(AC) يوازي مسار كرة بلايلي (DE)(DE).