📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 141 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1053 و 325:

باستخدام خوارزمية أقليدس (القسمات المتتالية):

1053=325×3+781053 = 325 \times 3 + 78
325=78×4+13325 = 78 \times 4 + 13
78=13×6+078 = 13 \times 6 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 13، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(1053,325)=13\text{PGCD}(1053, 325) = 13

2. كتابة العبارة EE على الشكل a+bca + b\sqrt{c}:

العبارة المعطاة:

E=4325+169−1053+52E = 4\sqrt{325} + \sqrt{169} - \sqrt{1053} + \sqrt{52}

نعلم أن PGCD(1053,325)=13\text{PGCD}(1053, 325) = 13، فنقوم بتقسيم الأعداد تحت الجذور على 13:

325=25×13325 = 25 \times 13
169=132169 = 13^2
1053=81×131053 = 81 \times 13
52=4×1352 = 4 \times 13

بالتعويض في العبارة EE:

E=425×13+132−81×13+4×13E = 4\sqrt{25 \times 13} + \sqrt{13^2} - \sqrt{81 \times 13} + \sqrt{4 \times 13}
E=4×513+13−913+213E = 4 \times 5\sqrt{13} + 13 - 9\sqrt{13} + 2\sqrt{13}
E=2013+13−913+213E = 20\sqrt{13} + 13 - 9\sqrt{13} + 2\sqrt{13}
E=13+(20−9+2)13E = 13 + (20 - 9 + 2)\sqrt{13}
✅الإجابة النموذجية:
E=13+1313E = 13 + 13\sqrt{13}

حيث: a=13a = 13، b=13b = 13، c=13c = 13 وكلها أعداد طبيعية.

3. تبيان أن FF عدد طبيعي:

العبارة المعطاة:

F=(5−26)(5+26)F = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})
💡إضاءة وتنبيه:

العبارة FF على شكل متطابقة شهيرة من الشكل الثالث: (x−y)(x+y)=x2−y2(x - y)(x + y) = x^2 - y^2.

بتطبيق القيمة:

F=52−(26)2F = 5^2 - (2\sqrt{6})^2
F=25−(22×(6)2)F = 25 - (2^2 \times (\sqrt{6})^2)
F=25−(4×6)F = 25 - (4 \times 6)
F=25−24F = 25 - 24
✅الإجابة النموذجية:
F=1F = 1

وبما أن 1 عدد طبيعي، فإن FF عدد طبيعي.

📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

لتكن العبارة:

A=(2x−3)2−(x+2)(x−1)A = (2x - 3)^2 - (x + 2)(x - 1)

1. نشر وتبسيط العبارة AA:

نشر المتطابقة الشهيرة الأولى (2x−3)2(2x - 3)^2:
(2x−3)2=(2x)2−2(2x)(3)+32=4x2−12x+9(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9
نشر الجداء (x+2)(x−1)(x + 2)(x - 1):
(x+2)(x−1)=x2−x+2x−2=x2+x−2(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2
تجميع العبارة AA:
A=(4x2−12x+9)−(x2+x−2)A = (4x^2 - 12x + 9) - (x^2 + x - 2)
A=4x2−12x+9−x2−x+2A = 4x^2 - 12x + 9 - x^2 - x + 2
A=(4x2−x2)+(−12x−x)+(9+2)A = (4x^2 - x^2) + (-12x - x) + (9 + 2)
✅الإجابة النموذجية:
A=3x2−13x+11A = 3x^2 - 13x + 11

2. حساب العبارة AA من أجل x=3x = 3:

نعوض قيمة x=3x = 3 في العبارة المبسطة:

A=3(3)2−13(3)+11A = 3(3)^2 - 13(3) + 11
A=3(9)−39+11A = 3(9) - 39 + 11
A=27−39+11A = 27 - 39 + 11
A=−12+11A = -12 + 11
✅الإجابة النموذجية:
A=−1A = -1
📌

التمرين الثالث (03 نقاط)

الأطوال المعطاة: EC=10 cmEC = 10\text{ cm}، CD=6 cmCD = 6\text{ cm}، DE=8 cmDE = 8\text{ cm}، AC=5 cmAC = 5\text{ cm}.

1. تبيان أن المثلث ECDECD قائم في DD:

نستخدم الخاصية العكسية لفيثاغورس:

أكبر ضلع في المثلث هو EC=10 cmEC = 10\text{ cm}:
EC2=102=100EC^2 = 10^2 = 100
مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
CD2+DE2=62+82=36+64=100CD^2 + DE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

بما أن EC2=CD2+DE2EC^2 = CD^2 + DE^2، فإنه حسب الخاصية العكسية لفيثاغورس:

✅الإجابة النموذجية:

المثلث ECDECD قائم في الراس DD.

2. حساب الطول BCBC:

من الشكل المعطى، لدينا الزاوية عند AA قائمة، مما يعني أن المستقيم (AB)(AB) عمودي على المستقيم (CD)(CD).

وبما أن المثلث ECDECD قائم في DD، فإن المستقيم (DE)(DE) عمودي أيضاً على المستقيم (CD)(CD).

💡إضاءة وتنبيه:

المستقيمان العموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن: (AB)∥(DE)(AB) \parallel (DE).

بما أن المستقيمين (AB)(AB) و (DE)(DE) متوازيان والنقاط C,A,DC, A, D و C,B,EC, B, E في استقامية بهذا الترتيب، نطبق خاصية طاليس على المثلث ECDECD:

CACD=CBCE=ABDE\frac{CA}{CD} = \frac{CB}{CE} = \frac{AB}{DE}

نعوض بالأطوال المعلومة:

56=CB10\frac{5}{6} = \frac{CB}{10}

ومنه:

CB=5×106=506=253 cm≈8.33 cmCB = \frac{5 \times 10}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}\text{ cm} \approx 8.33\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
BC=253 cm≈8.33 cmBC = \frac{25}{3}\text{ cm} \approx 8.33\text{ cm}
📌

التمرين الرابع (03 نقاط)

المعطيات: الدائرة (C)(C) مركزها OO وقُطرها TS=7 cmTS = 7\text{ cm}، والنقطة RR من الدائرة (C)(C) حيث RS=5 cmRS = 5\text{ cm}.

النقطة FF تنتمي إلى شعاع نصف المستقيم [RS)[RS) حيث RF=6.5 cmRF = 6.5\text{ cm}.
النقطة NN تنتمي إلى شعاع نصف المستقيم [TS)[TS) حيث SN=2.1 cmSN = 2.1\text{ cm}.

1. تبيان أن المستقيمين (FN)(FN) و (RT)(RT) متوازيان:

أولاً، نحسب الطول SFSF:

بما أن F∈[RS)F \in [RS) و RF=6.5 cmRF = 6.5\text{ cm} و RS=5 cmRS = 5\text{ cm}، فإن:

SF=RF−RS=6.5−5=1.5 cmSF = RF - RS = 6.5 - 5 = 1.5\text{ cm}

الان نقارن النسبتين بالنسبة للنقطة التقاطع SS:

نسبة الطولين على المستقيم الأول:
SNST=2.17=0.3\frac{SN}{ST} = \frac{2.1}{7} = 0.3
نسبة الطولين على المستقيم الثاني:
SFSR=1.55=0.3\frac{SF}{SR} = \frac{1.5}{5} = 0.3

بما أن:

SNST=SFSR=0.3\frac{SN}{ST} = \frac{SF}{SR} = 0.3

والنقاط T,S,NT, S, N والنقاط R,S,FR, S, F على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس:

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان (FN)(FN) و (RT)(RT) متوازيان: (FN)∥(RT)(FN) \parallel (RT).

2. حساب ظل الزاوية RST^\widehat{RST} (tan⁡RST^\tan\widehat{RST}):

💡إضاءة وتنبيه:

المثلث RSTRST مرسوم داخل الدائرة (C)(C) وأحد أضلاعه [TS][TS] هو قطر لهذه الدائرة، إذن المثلث RSTRST قائم في الراس RR.

في المثلث القائم RSTRST في RR، نطبق خاصية فيثاغورس لحساب الطول المجاور RTRT:

TS2=RS2+RT2TS^2 = RS^2 + RT^2
72=52+RT2  ⟹  49=25+RT27^2 = 5^2 + RT^2 \implies 49 = 25 + RT^2
RT2=49−25=24RT^2 = 49 - 25 = 24
RT=24=26 cmRT = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\text{ cm}

حساب ظل الزاوية RST^\widehat{RST}:

tan⁡(RST^)=الضلع المقابلالضلع المجاور=RTRS\tan(\widehat{RST}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{RT}{RS}
tan⁡(RST^)=245=265≈0.98\tan(\widehat{RST}) = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \approx 0.98
✅الإجابة النموذجية:
tan⁡(RST^)=245≈0.98\tan(\widehat{RST}) = \frac{\sqrt{24}}{5} \approx 0.98
📌

الجزء الثاني (08 نقاط)

📌

الوضعية الإدماجية

1. أبعاد البلاطة التي ستختارها الشركة مع التعليل:

أبعاد أرضية المحل:

الطول: L=6.40 m=640 cmL = 6.40\text{ m} = 640\text{ cm}
العرض: W=5.20 m=520 cmW = 5.20\text{ m} = 520\text{ cm}

المطلوب تبليط الأرضية ببلاطات مربعة الشكل ومتماثلة ودون تقطيع.

هذا يعني أن طول ضلع البلاطة (بالسنتيمتر) يجب أن يكون قاسماً مشتركاً للعددين 640 و 520.

لنحسب القاسم المشترك الأكبر PGCD(640,520)\text{PGCD}(640, 520):

640=520×1+120640 = 520 \times 1 + 120
520=120×4+40520 = 120 \times 4 + 40
120=40×3+0120 = 40 \times 3 + 0

إذن:

PGCD(640,520)=40\text{PGCD}(640, 520) = 40

قواسم العدد 40 هي: 1,2,4,5,8,10,20,401, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

بالنظر إلى أبعاد البلاطات المتاحة في الوثيقة 3:

30 cm×30 cm30\text{ cm} \times 30\text{ cm} (30 ليس قاسماً لـ 640)
35 cm×35 cm35\text{ cm} \times 35\text{ cm} (35 ليس قاسماً لـ 640)
40 cm×40 cm40\text{ cm} \times 40\text{ cm} (40 قاسم مشترك لـ 640 و 520)
45 cm×45 cm45\text{ cm} \times 45\text{ cm} (45 ليس قاسماً لـ 640)
✅الإجابة النموذجية:

أبعاد البلاطة التي ستختارها الشركة هي: 40 cm×40 cm40\text{ cm} \times 40\text{ cm}.

التعليل: لأن العدد 40 هو القاسم المشترك الوحيد بين الأبعاد المقترحة في الوثيقة 3 لكل من طول الأرضية (640 cm) وعرضها (520 cm)، وهو يمثل القاسم المشترك الأكبر لهما PGCD(640,520)=40\text{PGCD}(640, 520) = 40، مما يضمن التبليط الكلي دون الحاجة لتقطيع أي بلاطة.

2. حساب التكلفة الإجمالية التي سيدفعها صاحب المحل:

لحساب التكلفة الإجمالية، نقسم العمل إلى قسمين: تكلفة التبليط و تكلفة الطلاء.

أ) حساب تكلفة تبليط الأرضية:

1. مساحة الأرضية:

Sالأرضية=6.40×5.20=33.28 m2S_{\text{الأرضية}} = 6.40 \times 5.20 = 33.28\text{ m}^2

2. عدد البلاطات اللازمة:

عدد البلاطات في الطول: 64040=16\frac{640}{40} = 16 بلاطة.
عدد البلاطات في العرض: 52040=13\frac{520}{40} = 13 بلاطة.
إجمالي عدد البلاطات:
N=16×13=208 بلاطةN = 16 \times 13 = 208\text{ بلاطة}

3. تكلفة شراء البلاط:

سعر البلاطة الواحدة من حجم 40 cm×40 cm40\text{ cm} \times 40\text{ cm} هو 350 DA350\text{ DA}.

تكلفة شراء البلاط=208×350=72800 DA\text{تكلفة شراء البلاط} = 208 \times 350 = 72800\text{ DA}

4. تكلفة اليد العاملة للتبليط:

سعر تبليط المتر المربع الواحد هو 800 DA800\text{ DA}.

تكلفة مصاريف التبليط=33.28×800=26624 DA\text{تكلفة مصاريف التبليط} = 33.28 \times 800 = 26624\text{ DA}

5. مجموع تكلفة التبليط:

التكلفة الكلية للتبليط=72800+26624=99424 DA\text{التكلفة الكلية للتبليط} = 72800 + 26624 = 99424\text{ DA}

ب) حساب تكلفة طلاء الجدران:

1. المساحة الجانبية للجدران الأربعة:

Sالجدران=2×(L+W)×HS_{\text{الجدران}} = 2 \times (L + W) \times H
Sالجدران=2×(6.40+5.20)×2.80=2×11.60×2.80=64.96 m2S_{\text{الجدران}} = 2 \times (6.40 + 5.20) \times 2.80 = 2 \times 11.60 \times 2.80 = 64.96\text{ m}^2

2. مساحة الفتحات (الباب والنوافل):

مساحة الباب الرئيسي:
Sالباب=0.90×2.10=1.89 m2S_{\text{الباب}} = 0.90 \times 2.10 = 1.89\text{ m}^2
مساحة النافذة الواحدة:
Sالنافذة=2.10×2.40=5.04 m2S_{\text{النافذة}} = 2.10 \times 2.40 = 5.04\text{ m}^2
مساحة النوافذ الثلاثة:
Sالنوافذ=3×5.04=15.12 m2S_{\text{النوافذ}} = 3 \times 5.04 = 15.12\text{ m}^2
إجمالي مساحة الفتحات غير المطلاة:
Sالفتحات=1.89+15.12=17.01 m2S_{\text{الفتحات}} = 1.89 + 15.12 = 17.01\text{ m}^2

3. المساحة المتبقية الواجب طلاؤها:

Sالطلاء=Sالجدران−SالفتحاتS_{\text{الطلاء}} = S_{\text{الجدران}} - S_{\text{الفتحات}}
Sالطلاء=64.96−17.01=47.95 m2S_{\text{الطلاء}} = 64.96 - 17.01 = 47.95\text{ m}^2

4. عدد دلائات الدهان المطلوبة:

كل دلو يكفي لطلاء 5 m25\text{ m}^2.

عدد الدلاء=47.955=9.59\text{عدد الدلاء} = \frac{47.95}{5} = 9.59

بما أنه لا يمكن شراء جزء من دلو، يتم تدوير العدد إلى الوحدة الأعلى:

عدد الدلاء المطلوب شاؤها=10 دلاء\text{عدد الدلاء المطلوب شاؤها} = 10\text{ دلاء}

5. تكلفة شراء الدهان:

سعر الدلو الواحد هو 3500 DA3500\text{ DA}.

تكلفة شراء الدهان=10×3500=35000 DA\text{تكلفة شراء الدهان} = 10 \times 3500 = 35000\text{ DA}

6. تكلفة اليد العاملة للطلاء:

تكلفة طلاء المتر المربع الواحد هي 700 DA700\text{ DA} (تُحسب للمساحة الفعلية المطلاة):

تكلفة مصاريف الطلاء=47.95×700=33565 DA\text{تكلفة مصاريف الطلاء} = 47.95 \times 700 = 33565\text{ DA}

7. مجموع تكلفة الطلاء:

التكلفة الكلية للطلاء=35000+33565=68565 DA\text{التكلفة الكلية للطلاء} = 35000 + 33565 = 68565\text{ DA}

ج) التكلفة الإجمالية للمشروع:

التكلفة الإجمالية=تكلفة التبليط الكلية+تكلفة الطلاء الكلية\text{التكلفة الإجمالية} = \text{تكلفة التبليط الكلية} + \text{تكلفة الطلاء الكلية}
التكلفة الإجمالية=99424+68565=167989 DA\text{التكلفة الإجمالية} = 99424 + 68565 = 167989\text{ DA}
✅الإجابة النموذجية:

التكلفة الإجمالية التي سيدفعها صاحب المحل لتجديد المحل هي: 167989 DA167989\text{ DA} (مائة وسبعة وستون ألفاً وتسعمائة وثمانية وثمانون ديناراً جزائرياً).