أولاً، نقوم بكتابة العددين الطبيعيين $A$ و $B$ على الشكل العشري البسيط:

لحساب $\operatorname{PGCD}(27342, 21168)$، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $882$.

القاسم المشترك الأكبر للعددين $A$ و $B$ هو:

العبارة المعطاة:

نبسط البسط والمقام باستخدام قوى العدد 10:

نحسب حاصل قسمة الأعداد:

بالتالي:

الكتابة العلمية للعدد $C$ هي:

العبارة:

أولاً: نختزل الكسر $\frac{A}{B}$ بقسمة البسط والمقام على $\operatorname{PGCD}(A, B) = 882$:

ثانياً: نحسب الجزء الثاني من العبارة:

ثالثاً: نعوض ونجري عملية الطرح:

نوحد المقامات بالضرب في 4:

قيمة $D$ على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

العبارة:

نبسط الكسر الثاني بنطق مقامه:

نبسط الكسر الثالث بتحليل البسط بإنتاج عامل مشترك $2$:

نعوض الأجزاء المبسطة في العبارة $E$:

العبارة $E$ مكتوبة على الشكل $b + \sqrt{a}$ هي:

حيث $b = -2$ و $a = 2$.

العبارة المعطاة:

نعلم أن $\sqrt{9} = 3$، إذن المقام يساوي:

بالتعويض نجد:

مقام العدد $B$ أصلاني ناطق بعد تبسيط $\sqrt{9}$ إلى $3$، والمقام الناطق الناتج يساوي $2$.

كتابة $B$ بمقام ناطق:

باستعمال الخاصية الجدائية (الجداء المتصالب):

نعلم أن $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$، إذن الطرف الأيسر يصبح:

الطرف الأيمن:

فتصبح المعادلة:

مربع أي عدد حقيقي هو دائماً عدد موجب أو معدوم ($x^2 \ge 0$). لا يمكن لمربع عدد حقيقي أن يكون مساوياً لعدد سالب ($-2$).

بما أن $-2 < 0$، فإن المعادلة $x^2 = -2$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

من أطوال أضلاع المثلث $DEC$ المعطاة في الشكل:

نحسب مربع طول أطول ضلع (الوتر المترشح $CE$):

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $DEC$ قائم في النقطة $D$.

بما أن المستقيمين $(AB)$ و $(DE)$ متوازيان، والمستقيمان $(AE)$ و $(BD)$ يتقاطعان في النقطة $C$، نطبق خاصية طاليس:

بالتعويض بالأطوال المعلومة ($CE = 6\text{ cm}$، $CB = 1,8\text{ cm}$، $CD = 4\text{ cm}$):

ومنهم:

الطول $AC$ يساوي:

في المثلث القائم $DEC$ في $D$:

1. جيب الزاوية ($\sin \widehat{DEC}$):

2. ظل الزاوية ($\tan \widehat{DEC}$):

3. جداء النسبتين المثلثيتين:

تم الإثبات بنجاح أن:

حسب خاصية المثلث المحاط بدائرة (إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به فإن هذا المثلث قائم)، فإن المثلث $ABF$ قائم في النقطة $F$.

في المثلث القائم $ABF$ في $F$:

نحسب جيب الزاوية:

باستعمال الآلة الحاسبة ($\sin^{-1}(0,6)$):

قيس الزاوية $\widehat{FBA}$ بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو:

بما أن $AB = 5\text{ cm}$، فإن النقطة $A$ تقع بين $B$ و $M$، وطول القطعة $AM$ هو:

بما أن $FA = 3\text{ cm}$، فإن النقطة $A$ تقع بين $F$ و $N$، وطول القطعة $AN$ هو:

\