📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 118 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول:

1- حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 425 و 272:

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر PGCD(425,272)\text{PGCD}(425, 272)، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

425=272×1+153425 = 272 \times 1 + 153
272=153×1+119272 = 153 \times 1 + 119
153=119×1+34153 = 119 \times 1 + 34
119=34×3+17119 = 34 \times 3 + 17
34=17×2+034 = 17 \times 2 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 1717، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(425,272)=17\text{PGCD}(425, 272) = 17

2- كتابة الكسر 272425\frac{272}{425} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

لقسمة حدّي الكسر على قاسمهما المشترك الأكبر:

272425=272÷17425÷17\frac{272}{425} = \frac{272 \div 17}{425 \div 17}

نقوم بالحساب:

272÷17=16272 \div 17 = 16
425÷17=25425 \div 17 = 25
✅الإجابة النموذجية:
272425=1625\frac{272}{425} = \frac{16}{25}

3- تبيان أن M=1M = 1:

لدينا العبارة:

M=(272425−15)×53M = \left( \sqrt{\frac{272}{425}} - \frac{1}{5} \right) \times \frac{5}{3}

نعوض الكسر 272425\frac{272}{425} بالكسر المختزل الذي وجدناه سابقاً وهو 1625\frac{16}{25}:

M=(1625−15)×53M = \left( \sqrt{\frac{16}{25}} - \frac{1}{5} \right) \times \frac{5}{3}

نعلم أن جذر الكسر هو جذر البسط على جذر المقام:

1625=1625=45\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}

نعوض في العبارة:

M=(45−15)×53M = \left( \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \right) \times \frac{5}{3}

نطرح الكسرين داخل القوسين (لهما نفس المقام):

M=(4−15)×53M = \left( \frac{4 - 1}{5} \right) \times \frac{5}{3}
M=35×53M = \frac{3}{5} \times \frac{5}{3}

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:

M=3×55×3=1515=1M = \frac{3 \times 5}{5 \times 3} = \frac{15}{15} = 1
✅الإجابة النموذجية:

وهو المطلوب، إذن:

M=1M = 1
📌

التمرين الثاني:

1- كتابة العدد AA على شكل aba\sqrt{b} (حيث aa و bb عددان طبيعيان):

لدينا العبارة:

A=2175−112+37A = 2\sqrt{175} - \sqrt{112} + 3\sqrt{7}

نلاحظ وجود الحد 373\sqrt{7}، مما يدل على أننا سنكتب الأعداد تحت الجذور الأخرى بدلالة العدد 77:

بالنسبة لـ 175175: 175÷7=25175 \div 7 = 25 (وهو مربع تام 525^2)
بالنسبة لـ 112112: 112÷7=16112 \div 7 = 16 (وهو مربع تام 424^2)

نعوض في العبارة:

A=225×7−16×7+37A = 2\sqrt{25 \times 7} - \sqrt{16 \times 7} + 3\sqrt{7}
A=2×57−47+37A = 2 \times 5\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + 3\sqrt{7}
A=107−47+37A = 10\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + 3\sqrt{7}

نستخرج 7\sqrt{7} كعامل مشترك:

A=(10−4+3)7A = (10 - 4 + 3)\sqrt{7}
A=97A = 9\sqrt{7}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة AA على الشكل المطلوب هي:

A=97A = 9\sqrt{7}

(حيث a=9a = 9 و b=7b = 7 وهما عددان طبيعيان).

2- جعل مقام النسبة BB عدداً ناطقاً:

لدينا العبارة:

B=3−333B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3\sqrt{3}}

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

B=(3−3)×333×3B = \frac{(3 - \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}}

نوزع الضرب في البسط، ونبسط المقام:

B=33−(3)23×3B = \frac{3\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{3 \times 3}
B=33−39B = \frac{3\sqrt{3} - 3}{9}

يمكننا تبسيط العبارة بقسمة كل من البسط والمقام على 33:

B=3(3−1)9=3−13B = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{9} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3}
✅الإجابة النموذجية:

النسبة بمقام ناطق هي:

B=3−13B = \frac{\sqrt{3} - 1}{3}

3- تبيان أن CC عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

C=52×318C = 5\sqrt{2} \times 3\sqrt{18}

نطبق قواعد الحساب على الجذور التربيعية:

C=(5×3)×(2×18)C = (5 \times 3) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{18})
C=15×2×18C = 15 \times \sqrt{2 \times 18}
C=15×36C = 15 \times \sqrt{36}

بما أن 36=6\sqrt{36} = 6:

C=15×6C = 15 \times 6
C=90C = 90
💡إضاءة وتنبيه:

العدد 9090 هو عدد طبيعي خالي من الجذور والكسور والفاصلة، مما يؤكد صحة الحساب.

✅الإجابة النموذجية:
C=90(وهو عدد طبيعي)C = 90 \quad (\text{وهو عدد طبيعي})

4- حل المعادلتين:

أ) المعادلة الأولى: x2−6=3x^2 - 6 = 3

ننقل المعاليم إلى طرف والمجاهيل إلى طرف:

x2=3+6x^2 = 3 + 6
x2=9x^2 = 9

بما أن العدد 99 موجب تماماً (9>09 > 0)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x=9=3أوx=−9=−3x = \sqrt{9} = 3 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{9} = -3
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة x2−6=3x^2 - 6 = 3 حلان هما: x=3x = 3 و x=−3x = -3.

ب) المعادلة الثانية: x2=−81x^2 = -81

بما أن الطرف الأيمن عدد سالب (−81<0-81 < 0)، ومربع أي عدد حقيقي يجب أن يكون موجباً أو معدوماً:

✅الإجابة النموذجية:

المعادلة x2=−81x^2 = -81 ليس لها حلول حقيقية.

📌

التمرين الثالث:

1- حساب الطولين AMAM و BCBC:

من معطيات الشكل والتمثيل الهندسي:

المستقيمان (BC)(BC) و (MN)(MN) متوازيان.
النقط R,A,B,MR, A, B, M تقع على استقامة واحدة، والنقط P,A,C,NP, A, C, N تقع على استقامة واحدة، والمستقيمان (BM)(BM) و (CN)(CN) يتقاطعان في النقطة AA.

بتطبيق خاصية طاليس في المثلثين ABCABC و AMNAMN، نكتب نسب المتساوية التالية:

ABAM=ACAN=BCMN\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}

بالتعويض بالأطوال المعلومة من الشكل:

AB=2.4 cmAB = 2.4 \text{ cm}
AC=5.2 cmAC = 5.2 \text{ cm}
AN=7.8 cmAN = 7.8 \text{ cm}
MN=4.5 cmMN = 4.5 \text{ cm}

تصبح النسب كالآتي:

2.4AM=5.27.8=BC4.5\frac{2.4}{AM} = \frac{5.2}{7.8} = \frac{BC}{4.5}

حساب الطول AMAM:

باستعمال الرابع المتناسب من النسبة الأولى والثانية:

AM=2.4×7.85.2AM = \frac{2.4 \times 7.8}{5.2}
AM=18.725.2=3.6 cmAM = \frac{18.72}{5.2} = 3.6 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
AM=3.6 cmAM = 3.6 \text{ cm}

حساب الطول BCBC:

باستعمال الرابع المتناسب من النسبة الثانية والثالثة:

BC=5.2×4.57.8BC = \frac{5.2 \times 4.5}{7.8}
BC=23.47.8=3 cmBC = \frac{23.4}{7.8} = 3 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
BC=3 cmBC = 3 \text{ cm}

2- تبيان أن المستقيمين (BC)(BC) و (PR)(PR) متوازيان:

نعلم من المعطيات الإضافية أن:

AR=1.2 cmAR = 1.2 \text{ cm}
AP=2.6 cmAP = 2.6 \text{ cm}

نحدد استقامية النقط وترتيبها على المستقيمين المتقاطعين في AA:

النقط R,A,BR, A, B في استقامية وبنفس ترتيب النقط P,A,CP, A, C.

نقوم بحساب ومقارنة النسبتين ARAB\frac{AR}{AB} و APAC\frac{AP}{AC}:

النسبة الأولى:
ARAB=1.22.4=0.5\frac{AR}{AB} = \frac{1.2}{2.4} = 0.5
النسبة الثانية:
APAC=2.65.2=0.5\frac{AP}{AC} = \frac{2.6}{5.2} = 0.5

نلاحظ أن:

ARAB=APAC=0.5\frac{AR}{AB} = \frac{AP}{AC} = 0.5
💡إضاءة وتنبيه:

تساؤل النسبتين مع ترتيب النقط على الاستقامة هو الشرط الأساسي لتطبيق الخاصية العكسية لطاليس لإثبات التوازي.

بما أن النسبتين متساويتان، والنقط R,A,BR, A, B و P,A,CP, A, C مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس:

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان (BC)(BC) و (PR)(PR) متوازيان.