لكتابة عبارة تتضمن جذوراً تربيعية على الشكل $a\sqrt{3}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على 3، ثم نكتبها على شكل جذاء يكون أحد عامليه مربعاً تاماً لعدد طبيعي (مثل: $9, 25, 81$) لتسهيل استخراجها من تحت الجذر باستعمال القاعدة: $\sqrt{x^2 \times y} = x\sqrt{y}$.

لدينا العبارة:

نقوم بتبسيط الأعداد تحت الجذور بالقسمة على 3:

بالتعويض في العبارة $A$:

باستخراج $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

إذن: قيمة $a = -7$ وهو عدد نسبي صحيح.

نتبع نفس الخطوات السابقة لتبسيط الجذور التربيعية، مع الانتباه إلى أن العدد $\sqrt{81}$ هو مربع تام وقيمته المضبوطة هي عدد طبيعي $9$.

لدينا العبارة:

نقوم بتبسيط الأعداد تحت الجذور:

بالتعويض في العبارة $B$:

بجمع الحدود المتشابهة:

إذن: العبارة مكتوبة على الشكل المطلوب حيث $a' = 9$ و $b = -7$.

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في جذر المقام (وهو $\sqrt{3}$). يجب وضع البسط بين قوسين لتوزيع الضرب بشكل صحيح وتفادي الأخطاء الحسابية.

لدينا النسبة:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

يمكننا تبسيط النسبة بقسمة كل حد في البسط على المقام:

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن زواياه الأربع قائمة. بالتالي، فإن المثلث $ADC$ قائم في $D$. هذا يسمح لنا بتطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر $AC$.

لدينا $ABCD$ مستطيل، إذن المثلث $ADC$ قائم في $D$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث $ADC$:

بالتعويض بالقيم المعطاة ($AD = 6\text{ cm}$ و $DC = 8\text{ cm}$):

بما أن الطول موجب دائماً:

إذن: الطول $AC$ يساوي $10\text{ cm}$.

في المثلث القائم $ADC$، يمكننا حساب جيب تمام الزاوية (Cos) أو ظل الزاوية (Tan) أو جيب الزاوية (Sin) لإيجاد قيس الزاوية المطلوبة. سنستخدم هنا جيب تمام الزاوية $\cos$.

في المثلث القائم $ADC$ في $D$:

بالتعويض بالقيم:

باستخدام الآلة الحاسبة (اللمسة $\cos^{-1}$ أو $\text{2ndF} + \cos$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (بما أن الجزء من عشرة هو 1 وهو أصغر من 5):

لإثبات توازي مستقيمين باستخدام نظرية طاليس العكسية، يجب أولاً التحقق من استقامية النقط وترتيبها، ثم مقارنة النسبتين المنطلقتين من الرأس المشترك.

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن $AB = DC = 8\text{ cm}$ و $BC = AD = 6\text{ cm}$.

لدينا النقطتان $E$ و $F$ حيث:

لدينا النقط $E, B, A$ في استقامية وبهذا الترتيب، والنقط $F, B, C$ في استقامية وبنفس الترتيب.

نحسب ونقارن النسبتين من الرأس المشترك $B$:

نلاحظ أن:

وبما أن النسبتين متساويتان والنقط مرتبة بنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لنظرية طاليس فإن المستقيمين $(AC)$ و $(EF)$ متوازيان.

أي أن:

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتابعة) لأنها الطريقة الأسرع والأدق لإيجاد القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}$ للأعداد الكبيرة.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $217$، فإن:

لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}$.

نقسم بسط ومقام الكسر على $217$:

الكسر $\frac{10}{3}$ هو كسر غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(10, 3) = 1$.

لتكون الأحواض مربعة ومتقايسة وتغطي كامل الحقل دون ضياع، يجب أن يكون طول ضلع الحوض قسماً مشتركاً لبعدي الحقل.

ولكي يكون عدد الأحواض أقل ما يمكن، يجب أن تكون مساحة كل حوض أكبر ما يمكن، أي أن طول ضلع الحوض المربع يجب أن يكون أكبر قاسم مشترك لبعدي الحقل.

بعدا الحقل هما: $217\text{ m}$ و $65.1\text{ m}$.

لتفادي التعامل مع الأعداد العشرية، نحول البعدين إلى وحدة الديسيمتر ($\text{dm}$):

طول ضلع كل حوض بالديسيمتر هو القاسم المشترك الأكبر للعددين $2170$ و $651$.

من السؤال الأول لدينا:

إذن، طول ضلع كل حوض هو $217\text{ dm}$.

بالتحويل إلى المتر:

وبالتالي، طول ضلع كل حوض ليكون عدد الأحواض أقل ما يمكن هو: $21.7\text{ m}$.

لحساب عدد الأحواض الإجمالي، يمكننا حساب عدد الأحواض على طول الحقل وعدد الأحواض على عرضه ثم ضربهما، أو قسمة المساحة الإجمالية للحقل على مساحة الحوض الواحد.

إذن: عدد الأحواض الناتجة عن هذه التجزئة هو 30 حوضاً.