لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في التعامل مع الأعداد الكبيرة.

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $113$، فإن:

نقوم أولاً باختزال الكسر $\frac{1017}{452}$ بقسمة بسطه ومقامه على قاسمهما المشترك الأكبر $113$:

نعوض الكسر المختزل في العبارة $A$:

أولوية الحساب لعملية الضرب:

بما أن المقامين موحدين، نجمع البسطين مباشرة:

بما أن $5$ هو عدد بدون فاصلة وموجب، فإن $A$ عدد طبيعي فعلاً:

نقوم بنقل العدد $-8$ إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة على الشكل النموذجي $x^2 = b$:

بما أن $8 > 0$، فإن للمعادلة حلين متمايزين هما:

وتبسيط الجذور يعطي:

حلول المعادلة $x^2 - 8 = 0$ هي:

العبارة المعطاة:

نقسم الأعداد تحت الجذور على $5$:

نعوض في العبارة:

نستخرج $\sqrt{5}$ كعامل مشترك:

كتابة $F$ على الشكل المطلوب هي:

العبارة المعطاة:

نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع:

نرتب الحدود لتوافق الشكل المطلوب $m + n\sqrt{b}$:

كتابة $E$ على الشكل المطلوب هي:

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

نعلم أن $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$، نعوضها في البسط:

النسبة بمقام ناطق هي:

إذا كان أحد أضلاع مثلث مرسوم داخل دائرة هو قطراً لهذه الدائرة، والرأس الثالث ينتمي إلى الدائرة، فإن هذا المثلث قائم حتماً في ذلك الرأس (خاصية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم).

بما أن:

حسب خاصية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم، فإن المثلث $ABC$ قائم في الرأس $C$.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $C$، نطبق نظرية فيثاغورس:

نعوض بالقيم المعلومة ($AB = 5\text{ cm}$ و $AC = 3\text{ cm}$):

بما أن الطول موجب دائماً:

الطول $BC$ هو:

لدينا:

بما أن $AB = 5\text{ cm}$، فإن الطول $BE$ هو:

والطول $BC = 4\text{ cm}$.

نقارن النسبتين $\frac{BA}{BE}$ و $\frac{BC}{BD}$ انطلاقاً من نقطة التقاطع $B$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $A, B, E$ والنقط $C, B, D$ مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتمايزين المتطابقين في نقطة التقاطع $B$.

حسب النظرية العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيمين متوازيان:

بما أن المستقيمين $(AC)$ و $(DE)$ متوازيان، نطبق نظرية طاليس المباشرة:

نعوض بالقيم المعلومة:

باستعمال الجداء المتصالب:

الطول $DE$ هو:

أطوال أضلاع المثلث $BED$ هي:

نحسب مربع الضلع الأطول:

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $BED$ قائم في الرأس $D$.

في المثلث $BED$ القائم في $D$:

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة $\sin^{-1}$ أو $\text{2ndF} + \sin$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (بما أن الجزء من عشرة هو $1$ وهو أصغر من $5$):