لدينا العبارة:

نقوم بتبسيط الجذور بكتابة الأعداد تحت الجذر على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو $5$:

نعوض هذه القيم المبسطة في العبارة $A$:

نأخذ $\sqrt{5}$ كعامل مشترك:

العدد $A$ مكتوب على الشكل $a\sqrt{5}$ هو:

لدينا العبارة:

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

ننشر البسط ونبسط المقام:

يمكننا اختزال الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على $5$:

عند ضرب البسط في جذر المقام، يجب وضع البسط بين قوسين $(\sqrt{5} - 5)$ لتفادي أخطاء النشر وتوزيع الضرب على الطرح.

كتابة النسبة بمقام ناطق هي:

ننقل العدد $-36$ إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته:

بما أن العدد $36$ موجب تماماً ($36 > 0$)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

للمعادلة $x^2 - 36 = 0$ حلان هما: $x = 6$ و $x = -6$.

باستعمال خاصية الجداء المتصالب (الوسطين في الطرفين):

نعلم أن $\sqrt{256} = 16$، إذن تصبح المعادلة:

بما أن $16 > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

للمعادلة $\frac{x}{\sqrt{32}} = \frac{\sqrt{8}}{x}$ حلان هما: $x = 4$ و $x = -4$.

لإيجاد أكبر عدد ممكن من التلاميذ، يجب حساب القاسم المشترك الأكبر ($PGCD$) لعدد الكراريس ($3090$) وعدد الكتب ($1854$).

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $618$، فإن:

أكبر عدد ممكن من التلاميذ الذين يمكن توزيع الكراريس والكتب عليهم بالتساوي هو 618 تلميذاً.

يحصل كل تلميذ على 5 كراريس و 3 كتب.

نعتمد هنا على النظرية العكسية لنظرية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم.

حسب الخاصية: "إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به، فإن هذا المثلث قائم والوتر هو هذا القطر".

بما أن $[AC]$ هو قطر للدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$، فإن المثلث $ABC$ قائم في رأس الزاوية المقابلة للقطر وهو الرأس $B$.

المثلث $ABC$ قائم في $B$ لأن ضلع $[AC]$ هو قطر للدائرة المحيطة به.

بما أن:

فإن:

المستقيمان $(EF)$ و $(BC)$ متوازيان لكونهما عموديين على نفس المستقيم $(AB)$.

بما أن المستقيمين $(EF)$ و $(BC)$ متوازيان، والنقط $C, A, F$ على استقامة واحدة والنقط $B, A, E$ على استقامة واحدة (مستقيمان متقاطعان في $A$)، يمكننا تطبيق خاصية طاليس:

نعوض بالأطوال المعلومة في المعطيات ($AF = 2.6\text{ cm}$، $EF = 1\text{ cm}$، $BC = 5\text{ cm}$):

باستعمال النسبة الثانية والثالثة لحساب $AC$:

الطول $AC$ يساوي $13\text{ cm}$.

لحساب $AE$، نحتاج أولاً لمعرفة الطول $AB$.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $B$، نطبق نظرية فيثاغورس:

نعوض بالقيم المعلومة ($AC = 13$، $BC = 5$):

بما أن الطول موجب تماماً:

الآن نعود لنسبة طاليس لحساب $AE$:

نعوض $AB = 12$:

الطول $AE$ يساوي $2.4\text{ cm}$.