لحساب $\text{PGCD}(110, 105)$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم هو $5$، فإن:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 110 و 105 هو:

لدينا العلاقة:

ومنه نستنتج أن:

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر الذي حسبناه سابقاً وهو $5$:

عند الانتقال من المساواة $ax = by$ إلى الكسر، تذكر دائماً أن $\frac{x}{y} = \frac{b}{a}$ لتفادي الأخطاء الشائعة في عكس أطراف النسبة.

الكسر $\frac{x}{y}$ مكتوباً على شكل كسر غير قابل للاختزال هو:

لدينا العبارة:

نعوض الكسر $\frac{105}{110}$ بكسره المختزل $\frac{21}{22}$:

نعلم أن قسمة كسرين هي ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

بما أن المقامين موحدان، نجمع البسطين مباشرة:

بما أن $3$ عدد طبيعي، فإن $A$ عدد طبيعي.

تبسيط العبارة $A$ يعطي:

وهو عدد طبيعي فعلاً.

لدينا العبارة:

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو $3$:

نعوض هذه القيم في العبارة $S$:

نأخذ $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $S$ على الشكل $a\sqrt{3}$ هي:

حيث $a = 15$ وهو عدد طبيعي.

لدينا العبارة:

نبسط كل حد على حدة:

نعوض هذه التبسيطات في العبارة $D$:

كتابة العدد $D$ على الشكل المطلوب هي:

حيث $a = 84$ و $b = -6$.

لدينا العبارة:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{7}$:

النسبة $K$ بمقام ناطق هي:

لدينا من السؤال الأول: $S = 15\sqrt{3}$.

إذن:

ولدينا أيضاً الطرف الأول من المساواة:

بالتعويض في العبارة:

المساواة محققة.

بما أن الطرفين متساويان وقيمتهما $675$، فإن:

باستعمال الجداء المتصالب (الوسطين في الطرفين):

بما أن $49 > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

حلول المعادلة الأولى هي:

ننقل المعلوم إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته:

بما أن قيمة $x^2$ سالبة ($-20 < 0$)، فإنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.

في مجموعة الأعداد الحقيقية، مربع أي عدد هو دائماً موجب أو معدوم، لذلك فإن المعادلة من الشكل $x^2 = k$ حيث $k < 0$ لا تقبل حلولاً.

المعادلة $3x^2 - 25 = -85$ ليس لها حلول.

من معطيات التمرين والشكل المرفق:

نطبق نظرية طاليس في المثلث $AGD$ حيث المستقيم $(EF)$ يوازي الضلع $(GD)$:

بما أن:

فإننا نكتب نسب طاليس كالتالي:

نعلم أن:

نعوض القيم المعلومة في النسبة:

باستعمال الرابع المتناسب:

الطول $AD$ هو:

نطبق نظرية طاليس على المستقيمين المتقاطعين في $A$ والمستقيمين المتوازيين $(PR)$ و $(EF)$:

بما أن:

فإننا نكتب نسب طاليس كالتالي:

نعوض بالقيم المعلومة لدينا:

نأخذ النسبة المناسبة لحساب $PR$:

باستعمال الرابع المتناسب:

الطول $PR$ هو: