📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 108 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول (06 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 675 و 297:

باستعمال خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

675=297×2+81675 = 297 \times 2 + 81
297=81×3+54297 = 81 \times 3 + 54
81=54×1+2781 = 54 \times 1 + 27
54=27×2+054 = 27 \times 2 + 0

بما أن آخر باقٍ غير معدوم هو 2727، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(675;297)=27\text{PGCD}(675; 297) = 27

2) كتابة الكسر 675297\frac{675}{297} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

لقسمة حدّي الكسر على قاسمهما المشترك الأكبر:

675297=675÷27297÷27=2511\frac{675}{297} = \frac{675 \div 27}{297 \div 27} = \frac{25}{11}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

675297=2511\frac{675}{297} = \frac{25}{11}

3) حساب العدد PP حيث P=675297−311×52P = \frac{675}{297} - \frac{3}{11} \times \frac{5}{2}:

نعوض الكسر الأول بقيمته المختزلة لتسهيل الحساب:

P=2511−(311×52)P = \frac{25}{11} - \left(\frac{3}{11} \times \frac{5}{2}\right)

أولوية الحساب لعملية الضرب:

P=2511−3×511×2P = \frac{25}{11} - \frac{3 \times 5}{11 \times 2}
P=2511−1522P = \frac{25}{11} - \frac{15}{22}

توحيد المقامات (المقام المشترك هو 22):

P=25×211×2−1522P = \frac{25 \times 2}{11 \times 2} - \frac{15}{22}
P=5022−1522P = \frac{50}{22} - \frac{15}{22}
P=50−1522=3522P = \frac{50 - 15}{22} = \frac{35}{22}
✅الإجابة النموذجية:
P=3522P = \frac{35}{22}
📌

التمرين الثاني (07.5 نقطة)

1) كتابة العدد MM على الشكل a13a\sqrt{13} حيث aa عدد نسبي صحيح:

لدينا العبارة:

M=352−325−117M = 3\sqrt{52} - \sqrt{325} - \sqrt{117}

نقسم الأعداد تحت الجذور على 13:

52÷13=452 \div 13 = 4
325÷13=25325 \div 13 = 25
117÷13=9117 \div 13 = 9

نعوض في العبارة:

M=34×13−25×13−9×13M = 3\sqrt{4 \times 13} - \sqrt{25 \times 13} - \sqrt{9 \times 13}
M=3×213−513−313M = 3 \times 2\sqrt{13} - 5\sqrt{13} - 3\sqrt{13}
M=613−513−313M = 6\sqrt{13} - 5\sqrt{13} - 3\sqrt{13}
M=(6−5−3)13M = (6 - 5 - 3)\sqrt{13}
M=−213M = -2\sqrt{13}
✅الإجابة النموذجية:
M=−213(حيث a=−2)M = -2\sqrt{13} \quad (\text{حيث } a = -2)

2) تبيين أن M−2×13\frac{M}{-2} \times \sqrt{13} عدد طبيعي:

نعوض قيمة MM المحسوبة سابقاً:

−213−2×13=13×13=13\frac{-2\sqrt{13}}{-2} \times \sqrt{13} = \sqrt{13} \times \sqrt{13} = 13

وبما أن العدد 13 هو عدد موجب وبدون فاصلة، فهو عدد طبيعي.

✅الإجابة النموذجية:
M−2×13=13(وهو عدد طبيعي)\frac{M}{-2} \times \sqrt{13} = 13 \quad (\text{وهو عدد طبيعي})

3) كتابة العبارة NN على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

لدينا:

N=5+32N = \frac{5 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 2\sqrt{2}:

N=(5+3)×22×2N = \frac{(5 + \sqrt{3}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}
N=52+3×22N = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{3 \times 2}}{2}
N=52+62N = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}
💡إضاءة وتنبيه:

يرجى الانتباه إلى وجود خطأ مطبعي شائع في بعض أوراق التصحيح الوزارية القديمة حيث كُتبت النتيجة خطأً على شكل 53+62\frac{5\sqrt{3} + \sqrt{6}}{2}. الحساب العلمي الدقيق والصحيح هو ضرب 55 في 2\sqrt{2} ليعطي 525\sqrt{2}.

✅الإجابة النموذجية:
N=52+62N = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}

4) حل المعادلتين:

أ) المعادلة الأولى: −x2=254−2x2-x^2 = \frac{25}{4} - 2x^2

ننقل المجاهيل إلى طرف والمعاليم إلى طرف:

−x2+2x2=254-x^2 + 2x^2 = \frac{25}{4}
x2=254x^2 = \frac{25}{4}

بما أن 254>0\frac{25}{4} > 0، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x=254=52x = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}

أو:

x=−254=−52x = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -\frac{5}{2}
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: x=52x = \frac{5}{2} و x=−52x = -\frac{5}{2}.

ب) المعادلة الثانية: x(x+1)=x+11x(x + 1) = x + 11

ننشر الطرف الأيسر أولاً:

x2+x=x+11x^2 + x = x + 11

ننقل xx إلى الطرف الآخر:

x2+x−x=11x^2 + x - x = 11
x2=11x^2 = 11

بما أن 11>011 > 0، فإن للمعادلة حلين هما:

x=11أوx=−11x = \sqrt{11} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{11}
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: x=11x = \sqrt{11} و x=−11x = -\sqrt{11}.

📌

التمرين الثالث (06.5 نقطة)

1) تبيين أن المستقيمين (AB)(AB) و (CD)(CD) متوازيان:

نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس.

لدينا المستقيمان (AD)(AD) و (BC)(BC) يتقاطعان في النقطة HH.

نحسب ونقارن النسبتين:

HDHA=7.55=1.5…(1)\frac{HD}{HA} = \frac{7.5}{5} = 1.5 \quad \dots (1)
HCHB=1812=1.5…(2)\frac{HC}{HB} = \frac{18}{12} = 1.5 \quad \dots (2)

نلاحظ أن:

HDHA=HCHB=1.5\frac{HD}{HA} = \frac{HC}{HB} = 1.5

وبما أن النقط HH، AA، DD والنقط HH، BB، CC في استقامية وبنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لطاليس:

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان (AB)(AB) و (CD)(CD) متوازيان؛ أي: (AB)//(CD)(AB) // (CD).

2) حساب الطول ABAB:

بما أن المستقيمين (AB)(AB) و (CD)(CD) متوازيان، فإنه بتطبيق خاصية طاليس نجد:

HAHD=HBHC=ABCD\frac{HA}{HD} = \frac{HB}{HC} = \frac{AB}{CD}

نعوض بالقيم المعلومة لدينا:

1218=AB19.5\frac{12}{18} = \frac{AB}{19.5}

باستعمال الرابع المتناسب:

AB=12×19.518AB = \frac{12 \times 19.5}{18}
AB=23418=13 cmAB = \frac{234}{18} = 13 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول ABAB يساوي 13 cm13\text{ cm}.

3) تبيين أن المثلث ABHABH قائم في HH:

نستخدم الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس في المثلث ABHABH الذي أطوال أضلاعه هي:

AB=13 cmAB = 13\text{ cm} (الأطول، يمثل الوتر المحتمل)
HA=5 cmHA = 5\text{ cm}
HB=12 cmHB = 12\text{ cm}

نحسب مربعات الأطوال:

AB2=132=169AB^2 = 13^2 = 169
HA2+HB2=52+122=25+144=169HA^2 + HB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

نلاحظ أن:

AB2=HA2+HB2AB^2 = HA^2 + HB^2

وحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث قائم.

✅الإجابة النموذجية:

المثلث ABHABH قائم في النقطة HH.