لإيجاد القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(696, 406)$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأكثر فعالية وسرعة.

(الباقي هو $290$)

(الباقي هو $116$)

(الباقي هو $58$)

(الباقي هو $0$)

بما أن الباقي الأخير يساوي $0$، فإن القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقٍ غير معدوم وهو $58$.

لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(696, 406) = 58$.

نحسب العمليات:

نلاحظ أولاً أن الكسر الأول في العبارة $P$ هو مقلوب الكسر الذي قمنا باختزاله في السؤال السابق:

نعوض الكسر المختزل في العبارة لتسهيل الحساب وتجنب الأعداد الكبيرة:

لتبسيط المجموع، نكتب ما تحت الجذور على الشكل $a^2 \times b$ لاستخراج المربعات التامة خارج الجذر:

نعوض في العبارة $A$:

يمكننا كتابتها باستخراج العامل المشترك $2$:

لجعل مقام الكسر عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

نوزع الضرب في البسط:

لإثبات صحة هذه المساواة، نحسب الطرف الأيسر والطرف الأيمن على حدة ونقارن بينهما:

نعلم أن:

باختزال العدد $3$ من البسط والمقام نجد:

الآن نقوم بحساب الفرق $A - 3B$:

نحذف الأقواس مع تغيير إشارة الحدود داخل القوس الثاني المسبوق بإشارة ناقص:

نجمع الحدود المتشابهة:

نستخرج $2$ كعامل مشترك في البسط:

باختزال العدد $2$ نجد:

بمقارنة نتيجتي الطرفين، نلاحظ أنهما متساويان تماماً.

بما أن الطرف الأيسر يساوي $\sqrt{3} + \sqrt{15}$ والطرف الأيمن يساوي $\sqrt{3} + \sqrt{15}$، فإن المساواة محققة:

من خلال الشكل الهندسي المرفق والمعطيات:

بما أن المستقيمين $(BC)$ و $(MN)$ عموديان على نفس المستقيم $(CM)$، فإنهما متوازيان حتماً.

في المثلثين $OBC$ و $ONM$:

بتطبيق خاصية طاليس على هذا الشكل (وضعية الفراشة)، نكتب نسب الطول المتساوية:

لدينا من المعطيات العددية على الرسم:

نعوض هذه القيم في النسبة المناسبة:

نختزل الكسر $\frac{9}{15}$ بقسمة البسط والمقام على $3$:

نعلم من السؤال السابق أن:

نعوض قيمة $ON = 17.5 \text{ cm}$ في العلاقة:

ومنه نستخرج الطول $OB$ باستخدام عملية الضرب:

نحسب النتيجة:

الطول $OB$ هو: