يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. لإثبات أنهما ليسا أوليين دون حساب الـ $\text{PGCD}$، نبحث عن قاسم مشترك ظاهر لهما باستخدام قواعد قابلية القسمة (على 2، 3، 5، إلخ).

العددان 357 و 204 ليسا أوليين فيما بينهما.

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأدق لحساب القاسم المشترك الأكبر للأعداد الكبيرة.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في هذه السلسلة هو $51$، فإن:

للحصول على كسر غير قابل للاختزال دفعة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}$.

نقسم بسط ومقام الكسر على $51$:

الكسر المختزل والغير قابل للاختزال هو: $\frac{4}{7}$.

لتسهيل حل المعادلة، نعوض الكسر $\frac{204}{357}$ بقيمته المختزلة $\frac{4}{7}$.

نعوض في المعادلة:

ننقل الطرف المعلوم إلى الجهة الأخرى مع تغيير الإشارة:

بما أن المقامين موحدان، نجمع البسطين:

بما أن العدد $2$ موجب تماماً ($2 > 0$)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

لتكن العبارتان $E$ و $F$ حيث:

نقوم بتحليل الأعداد الموجودة تحت الجذور التربيعية إلى جداء عددين، أحدهما مربع تام والآخر هو 5.

لدينا:

بالتعويض في العبارة $E$:

نخرج المربعات التامة من تحت الجذر:

باستخراج $\sqrt{5}$ كعامل مشترك:

إذن: العبارة مكتوبة على الشكل $a\sqrt{5}$ حيث $a = 4$ (وهو عدد طبيعي).

نطبق قواعد الحساب على الجذور: $(\sqrt{a})^2 = a$ و $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

لدينا العبارة:

نحسب الجزء الأول:

نحسب الجزء الثاني:

بالتعويض في العبارة $F$:

بما أن النتيجة هي $6$، فإن $F$ عدد طبيعي.

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر التربيعي الموجود في المقام (وهو $\sqrt{5}$).

نعوض قيمتي $E$ و $F$ في النسبة:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

نكتبها بشكل منظم:

نلاحظ من الرسم أن المستقيمين $(IM)$ و $(JL)$ متوازيان، والنقاط $K, I, J$ على استقامة واحدة، والنقاط $K, M, L$ على استقامة واحدة. هذا يسمح لنا بتطبيق نظرية طاليس المباشرة في المثلث $KJL$.

بما أن المستقيمين $(IM)$ و $(JL)$ متوازيان، والنقاط $K, I, J$ و $K, M, L$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإنه حسب نظرية طاليس نجد:

بالتعويض بالقيم المعلومة:

باستعمال الرابع المتناسب:

إذن: الطول $IM = 2\text{ cm}$.

لإثبات توازي مستقيمين يتقاطعان في نقطة تشكل وضعية الفراشة (النقطة $I$)، نستخدم نظرية طاليس العكسية من خلال حساب ونمذجة النسبتين المقابلتين للرأس المشترك $I$.

لدينا المستقيمان $(KP)$ و $(MN)$ يتقاطعان في النقطة $I$.

نقارن النسبتين $\frac{IK}{IP}$ و $\frac{IM}{IN}$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقاط $K, I, P$ على استقامة واحدة، والنقاط $M, I, N$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإنه حسب نظرية طاليس العكسية، فإن المستقيمين $(KM)$ و $(NP)$ متوازيان:

لبيان أن المستقيمين متعامدان عند النقطة $I$، يكفي إثبات أن المثلث $PIN$ قائم في $I$ باستخدام النظرية العكسية لفيثاغورس.

في المثلث $PIN$، لدينا أطوال الأضلاع الثلاثة:

نقارن مربع الضلع الأطول بمجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

وحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $PIN$ قائم في الرأس $I$.

ومنه، فإن المستقيمين $(PI)$ و $(IN)$ متعامدان:

وبما أن النقطة $K$ تنتمي إلى امتداد المستقيم $(PI)$ (أي أن المستقيم $(PI)$ هو نفسه المستقيم $(PK)$)، والنقطة $M$ تنتمي إلى امتداد المستقيم $(IN)$ (أي أن المستقيم $(IN)$ هو نفسه المستقيم $(MN)$)، فإن: