لتكن الأعداد $A$، $B$ و $C$ حيث:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $301$ و $210$:

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية، وهو العدد $7$.

إذن:

لدينا:

بما أننا وجدنا سابقاً أن $\text{PGCD}(301; 210) = 7$، نقوم بقسمة البسط والمقام على $7$:

وبما أن العدد $43$ عدد أولي، فإن الكسر $\frac{30}{43}$ هو كسر غير قابل للاختزال.

لدينا العبارة:

أولاً: نبسط الكسر $\frac{301}{210}$ داخل الأقواس. نلاحظ أنه مقلوب الكسر $B$، وبالتالي يمكن اختزاله بالقسمة على $7$:

تصبح العبارة داخل الأقواس:

نوحد المقامات بجعل المقام المشترك هو $30$:

نقوم الآن بعملية الطرح داخل الأقواس:

نعوض النتيجة في العبارة $C$:

لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

وهو المطلوب إثباته.

$L$ و $M$ عددان حيث:

لدينا:

نحلل الأعداد تحت الجذور:

نعوض في العبارة $L$:

بتطبيق الخاصية $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$:

باستخراج $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

حيث $a = 4$ وهو عدد طبيعي.

لدينا:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على $3$:

(تنبيه: تم تصحيح الرموز الواردة في نص السؤال الأصلي لتتوافق رياضياً مع معطيات التمرين الثاني حيث الرموز الصحيحة هي $L$ و $M$ بدلاً من الرموز الملتبسة مطبعياً).

لدينا القيم المبسطة:

أولاً: نحسب القوس الأول $(L\sqrt{3} + 1)$:

إذن:

ثانياً: نحسب القوس الثاني $(8M^2 - 1)$:

نحسب أولاً $M^2$:

نعوض في القوس الثاني:

ثالثاً: نحسب قيمة العبارة الإجمالية $C'$:

وبما أن العدد $65$ هو عدد صحيح موجب خالي من الجذور والكسور، فإن $C'$ هو بالفعل عدد طبيعي.

إليك الشكل المعطى بالأطوال التالية:

في الشكل لدينا المستقيمان $(AD)$ و $(BC)$ يتقاطعان في النقطة $O$.

أولاً: نتحقق من استقامية النقط وترتيبها:

النقط $A$، $O$، $D$ في استقامية، والنقط $B$، $O$، $C$ في استقامية وبنفس الترتيب.

ثانياً: نحسب ونقارن النسبتين المتقابلتين من نقطة التقاطع $O$:

نلاحظ أن:

وبما أن النسبتين متساويتان والنقط $A, O, D$ و $B, O, C$ مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتطابقين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس نستنتج أن المستقيمين $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان:

بما أن المستقيمين $(DC)$ و $(AB)$ متوازيان، والنقط $A, O, D$ و $B, O, C$ في استقامية، فإنه بتطبيق خاصية طاليس نكتب نسب الأطوال المتساوية:

بالتعويض بالأطوال المعلومة لدينا:

نأخذ الجزء المناسب لحساب $AB$:

باستعمال الجداء المتصالب (الرابع المتناسب):

إذن، الطول $AB$ يساوي $10\text{ cm}$.