يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. لإثبات أن عددين ليسا أوليين فيما بينهما دون حساب القاسم المشترك الأكبر، يكفي إيجاد قاسم مشترك واحد لهما يختلف عن الرقم 1 (مثل قواعد قابلية القسمة على 2، 3، 5... إلخ).

العددان $1542$ و $3598$ ليسا أوليين فيما بينهما.

وبما أنهما يقبلان القسمة على قاسم مشترك يختلف عن $1$ (وهو العدد $2$)، فإن قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(1542; 3598) \neq 1$، ومنه فالعددان ليسا أوليين فيما بينهما.

لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في الامتحانات الرسمية. القواسم المشتركة لعددين هي نفسها قواسم قاسمهما المشترك الأكبر.

أ) حساب $\text{PGCD}(378; 270)$:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو $54$، فإن:

ب) استنتاج القواسم المشتركة للعددين 270 و378:

القواسم المشتركة للعددين هي قواسم العدد $54$ (القاسم المشترك الأكبر).

نبحث عن قواسم العدد $54$:

إذن، مجموعة القواسم المشتركة للعددين $270$ و $378$ هي:

للحصول على كسر غير قابل للاختزال دفعة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}$.

لدينا $\text{PGCD}(378; 270) = 54$. نقسم البسط والمقام على $54$:

الكسر $\frac{5}{7}$ هو كسر غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(5; 7) = 1$.

لكي نتمكن من تجزئة قطعة القماش إلى مربعات متقايسة دون ضياع، يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسماً مشتركاً لكل من الطول والعرض معاً (أي يقسم $270$ و $378$ في آن واحد).

لا يمكن؛ لأن العدد $10$ يقسم العرض $270$ ($270 \div 10 = 27$)، لكنه لا يقسم الطول $378$ ($378 \div 10 = 37.8$ وهو ليس عدداً طبيعياً). وبما أن $10$ ليس قاسماً مشتركاً للعددين، فلا يمكن اختيار هذا الطول دون حدوث ضياع في القماش.

نعم، يمكن؛ لأن العدد $18$ هو أحد القواسم المشتركة للعددين $270$ و $378$ (كما تم استنتاجه في السؤال الثاني).

بما أن القسمة تامة في الحالتين، فإنه يمكن تجزئة القطعة إلى مربعات طول ضلعها $18\text{ cm}$ دون ضياع.

ليكون طول ضلع المربع أكبر ما يمكن، يجب أن يكون مساوياً للقاسم المشترك الأكبر لطول وعرض قطعة القماش، أي $\text{PGCD}(378; 270)$.

1. تحديد طول ضلع المربع الأكبر:

طول الضلع الأكبر هو $\text{PGCD}(378; 270) = 54\text{ cm}$.

2. حساب عدد المناديل:

(طريقة بديلة: تقسيم المساحة الكلية لقطعة القماش على مساحة المنديل الواحد)

لتبسيط الجذور وكتابتها على الشكل $a\sqrt{2}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $2$ لتظهر لنا مربعات تامة يمكن إخراجها من تحت الجذر باستخدام القاعدة $\sqrt{x^2 \times y} = x\sqrt{y}$.

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور كالتالي:

الآن نعوض في العبارة $A$:

نستخرج $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

وهي من الشكل المطلوب حيث $a = 11$ (وهو عدد طبيعي).

نلاحظ أن القوس الأول يمكن إعادة ترتيبه لأن الجمع عملية تبديلية: $2\sqrt{3} + 3 = 3 + 2\sqrt{3}$. تصبح العبارة على شكل المتطابقة الشهيرة الثالثة: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

بتطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

لجعل مقام كسر عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام (مع مراعاة وضع البسط بين قوسين لتوزيع الضرب).

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

بتوزيع الضرب في البسط:

لحل معادلة من الدرجة الثانية من الشكل $x^2 = b$، نقوم أولاً بعزل المجهول $x^2$ في طرف واحد، ثم ندرس إشارة الطرف الآخر:

ننقل العدد $93$ إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته:

بما أن الطرف الأيمن عدد سالب ($-81 < 0$)، وبما أن مربع أي عدد حقيقي يجب أن يكون موجباً أو معدوماً، فإن:

المعادلة ليس لها حل.

الشرط الأول: $350 < x < 367$ حيث $x$ عدد طبيعي.

الشرط الثاني: $\text{PGCD}(x; 348) = 6$.

هذا يعني أن $x$ يجب أن يكون مضاعفاً للعدد $6$، وفي نفس الوقت عند قسمة $x$ و $348$ على $6$، يجب أن يكون الناتجين عددين أوليين فيما بينهما.

🔹 الخطوة 1: إيجاد مضاعفات العدد 6 المحصورة بين 350 و 367:

نقسم الحدود على 6 لتحديد رتب المضاعفات:

إذن قيم $k$ الطبيعية الممكنة (حيث $x = 6k$) هي: $k = 59$، $k = 60$، $k = 61$.

المضاعفات الممكنة لـ 6 في هذا المجال هي:

🔹 الخطوة 2: اختبار الشرط $\text{PGCD}(x; 348) = 6$ لكل قيمة:

نعلم أن:

لكي يكون القاسم المشترك الأكبر للعددين $x$ و $348$ مساوياً لـ $6$، يجب أن يكون $\text{PGCD}(k; 58) = 1$ (أي أن $k$ و $58$ أوليان فيما بينهما).

نختبر أولية $59$ و $58$:

العددان $59$ و $58$ متتاليان، وأي عددين طبيعيين متتاليين هما دائماً أوليان فيما بينهما، أي $\text{PGCD}(59; 58) = 1$.

إذن:

نختبر أولية $60$ و $58$:

كلا العددين زوجي، يقبلان القسمة على 2، إذن ليسا أوليين فيما بينهما ($\text{PGCD}(60; 58) \ge 2$).

بالتالي:

نختبر أولية $61$ و $58$:

العدد $61$ هو عدد أولي، والعدد $58$ ليس مضاعفاً له، إذن هما أوليان فيما بينهما، أي $\text{PGCD}(61; 58) = 1$.

إذن:

الخلاصة:

قيم العدد الطبيعي $x$ التي تحقق الشروط هي: