1- هل العددين 756 و 441 أوليين فيما بينهما؟ علل إجابتك.
لتحديد ما إذا كان العددين 756 و 441 أوليين فيما بينهما، نحتاج إلى حساب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) بينهما.
P G C D ( 756 , 441 ) PGCD(756, 441) P GC D ( 756 , 441 )
نستخدم خوارزمية الإقليدس:
756 = 441 × 1 + 315 441 = 315 × 1 + 126 315 = 126 × 2 + 63 126 = 63 × 2 + 0 \begin{align*}
756 &= 441 \times 1 + 315 \\
441 &= 315 \times 1 + 126 \\
315 &= 126 \times 2 + 63 \\
126 &= 63 \times 2 + 0 \\
\end{align*} 756 441 315 126 = 441 × 1 + 315 = 315 × 1 + 126 = 126 × 2 + 63 = 63 × 2 + 0
القاسم المشترك الأكبر هو 63، لذا فإن العددين 756 و 441 ليسا أوليين فيما بينهما.
الإجابة: العددين 756 و 441 ليسا أوليين فيما بينهما لأن PGCD(756, 441) = 63 ≠ 1.
2- هل الكسر 756 441 \frac{756}{441} 441 756
لتحديد ما إذا كان الكسر 756 441 \frac{756}{441} 441 756
756 ÷ 63 441 ÷ 63 = 12 7 \frac{756 \div 63}{441 \div 63} = \frac{12}{7} 441 ÷ 63 756 ÷ 63 = 7 12
الكسر 756 441 \frac{756}{441} 441 756 12 7 \frac{12}{7} 7 12
3- احسب المجموع D، حيث D = 756 441 + 19 21 D=\frac{756}{441}+\frac{19}{21} D = 441 756 + 21 19
باستخدام النتيجة السابقة، نعرف أن 756 441 = 12 7 \frac{756}{441} = \frac{12}{7} 441 756 = 7 12
D = 12 7 + 19 21 D = \frac{12}{7} + \frac{19}{21} D = 7 12 + 21 19
لجمع الكسور، نحتاج إلى المقام المشترك:
D = 12 × 3 7 × 3 + 19 21 = 36 21 + 19 21 = 36 + 19 21 = 55 21 D = \frac{12 \times 3}{7 \times 3} + \frac{19}{21} = \frac{36}{21} + \frac{19}{21} = \frac{36 + 19}{21} = \frac{55}{21} D = 7 × 3 12 × 3 + 21 19 = 21 36 + 21 19 = 21 36 + 19 = 21 55
الإجابة: المجموع D = 55 21 D = \frac{55}{21} D = 21 55
التمرين الثاني:
1- اكتب العبارة A على شكل a 3 a\sqrt{3} a 3 A = 5 12 + 3 − 3 27 A=5\sqrt{12}+\sqrt{3}-3\sqrt{27} A = 5 12 + 3 − 3 27
نبدأ بتقسيم الجذور التربيعية إلى أشكال أبسط:
5 12 = 5 4 × 3 = 5 × 2 3 = 10 3 3 27 = 3 9 × 3 = 3 × 3 3 = 9 3 \begin{align*}
5\sqrt{12} &= 5\sqrt{4 \times 3} = 5 \times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \\
3\sqrt{27} &= 3\sqrt{9 \times 3} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \\
\end{align*} 5 12 3 27 = 5 4 × 3 = 5 × 2 3 = 10 3 = 3 9 × 3 = 3 × 3 3 = 9 3
ثم نقوم بتبسيط العبارة A:
A = 10 3 + 3 − 9 3 = ( 10 + 1 − 9 ) 3 = 2 3 A = 10\sqrt{3} + \sqrt{3} - 9\sqrt{3} = (10 + 1 - 9)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} A = 10 3 + 3 − 9 3 = ( 10 + 1 − 9 ) 3 = 2 3
الإجابة: العبارة A يمكن كتابتها على الشكل 2 3 2\sqrt{3} 2 3
2- انشر ثم بسط العبارة B، حيث B = ( 3 − 6 ) ( 3 + 2 ) B=(\sqrt{3}-6)(\sqrt{3}+2) B = ( 3 − 6 ) ( 3 + 2 )
نستخدم قاعدة الضرب في القوسين:
B = ( 3 − 6 ) ( 3 + 2 ) = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 − 6 ⋅ 3 − 6 ⋅ 2 = 3 + 2 3 − 6 3 − 12 = 3 − 12 + ( 2 − 6 ) 3 = − 9 − 4 3 \begin{align*}
B &= (\sqrt{3}-6)(\sqrt{3}+2) \\
&= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - 6 \cdot \sqrt{3} - 6 \cdot 2 \\
&= 3 + 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 12 \\
&= 3 - 12 + (2 - 6)\sqrt{3} \\
&= -9 - 4\sqrt{3}
\end{align*} B = ( 3 − 6 ) ( 3 + 2 ) = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 − 6 ⋅ 3 − 6 ⋅ 2 = 3 + 2 3 − 6 3 − 12 = 3 − 12 + ( 2 − 6 ) 3 = − 9 − 4 3
الإجابة: العبارة B بعد التبسيط هي − 9 − 4 3 -9 - 4\sqrt{3} − 9 − 4 3
3- اجعل مقام النسبة B A \frac{B}{A} A B
باستخدام النتائج السابقة، لدينا:
B A = − 9 − 4 3 2 3 \frac{B}{A} = \frac{-9 - 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} A B = 2 3 − 9 − 4 3
لجعل المقام عددا ناطقا، نضرب البسط والمقام في 3 \sqrt{3} 3
B A = ( − 9 − 4 3 ) ⋅ 3 2 3 ⋅ 3 = − 9 3 − 4 ⋅ 3 2 ⋅ 3 = − 9 3 − 12 6 \frac{B}{A} = \frac{(-9 - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-9\sqrt{3} - 4 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{-9\sqrt{3} - 12}{6} A B = 2 3 ⋅ 3 ( − 9 − 4 3 ) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 − 9 3 − 4 ⋅ 3 = 6 − 9 3 − 12
الإجابة: النسبة B A \frac{B}{A} A B − 9 3 − 12 6 \frac{-9\sqrt{3} - 12}{6} 6 − 9 3 − 12
التمرين الثالث:
- بين أن (GF) || (BC).
لبيان أن (GF) || (BC)، نحتاج إلى إثبات أن المثلثين ABC و AGF متشابهان.
نعلم أن:
نحسب نسبة طول AF إلى AB و AG إلى AC:
A F A B = 3 9.6 = 5 16 \frac{AF}{AB} = \frac{3}{9.6} = \frac{5}{16} A B A F = 9.6 3 = 16 5
A G A C = 3 8 = 3 8 \frac{AG}{AC} = \frac{3}{8} = \frac{3}{8} A C A G = 8 3 = 8 3
نلاحظ أن A F A B = A G A C \frac{AF}{AB} = \frac{AG}{AC} A B A F = A C A G
بما أن المثلثين ABC و AGF متشابهان، فإن (GF) || (BC).
الإجابة: (GF) || (BC).
- إذا علمت أن محيط المثلث ABC هو 29.6 cm، احسب GF و BC.
نعلم أن محيط المثلث ABC هو 29.6 cm:
A B + B C + A C = 29.6 AB + BC + AC = 29.6 A B + B C + A C = 29.6
9.6 + B C + 8 = 29.6 9.6 + BC + 8 = 29.6 9.6 + B C + 8 = 29.6
B C = 29.6 − 9.6 − 8 = 12 BC = 29.6 - 9.6 - 8 = 12 B C = 29.6 − 9.6 − 8 = 12
لحساب طول GF، نستخدم نسبة المتشابهية:
G F B C = A F A B = 5 16 \frac{GF}{BC} = \frac{AF}{AB} = \frac{5}{16} B C GF = A B A F = 16 5
G F = 5 16 × 12 = 60 16 = 3.75 GF = \frac{5}{16} \times 12 = \frac{60}{16} = 3.75 GF = 16 5 × 12 = 16 60 = 3.75
الإجابة: طول BC هو 12 cm وطول GF هو 3.75 cm.
جدول سلم التنقيط (20/20):
التمرين الأول 6 التمرين الثاني 6 التمرين الثالث 8 المجموع 20
ملاحظة: يمكن توزيع النقاط بشكل مرن حسب مستوى تفصيل الإجابات وصحة الحلول.