📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 82 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول (07 نقاط)

💡إضاءة وتنبيه:

لحل مسألة تقسيم مجموعتين من الأشياء (الورود البيضاء والحمراء) بالتساوي على أكبر عدد ممكن من الباقات دون بقاء أي وردة، نستخدم مفهوم القاسم المشترك الأكبر (PGCD) للعددين اللذين يمثلان عدد الورود البيضاء وعدد الورود الحمراء.

أ- حساب أكبر عدد من الباقات التي يمكن تشكيلها:

ليكن NN هو أكبر عدد من الباقات التي يمكن تشكيلها.

بما أن البائع يريد وضع كل الورود في باقات متماثلة تماماً، فإن NN هو القاسم المشترك الأكبر لعدد الورود البيضاء (1756) وعدد الورود الحمراء (1317).

أي:

N=PGCD(1756,1317)N = \text{PGCD}(1756, 1317)

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) للبحث عن القاسم المشترك الأكبر:

1756=1317×1+4391756 = 1317 \times 1 + 439
1317=439×3+01317 = 439 \times 3 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات المتتالية هو 439439، فإن:

PGCD(1756,1317)=439\text{PGCD}(1756, 1317) = 439
✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد من الباقات التي يمكن تشكيلها هو 439 باقة.

ب- تحديد تشكيلة كل باقة (عدد الورود من كل نوع في الباقة الواحدة):

عدد الورود البيضاء في كل باقة:

نقوم بقسمة العدد الإجمالي للورود البيضاء على عدد الباقات:

1756439=4\frac{1756}{439} = 4
عدد الورود الحمراء في كل باقة:

نقوم بقسمة العدد الإجمالي للورود الحمراء على عدد الباقات:

1317439=3\frac{1317}{439} = 3
✅الإجابة النموذجية:

تتكون كل باقة من 4 ورود بيضاء و 3 ورود حمراء.

📌

التمرين الثاني (06 نقاط)

1) كتابة كلا من AA و BB على الشكل aba\sqrt{b}:

💡إضاءة وتنبيه:

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً تربيعية على الشكل aba\sqrt{b} حيث bb أصغر ما يمكن، نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما أكبر مربع تام ممكن.

تبسيط العبارة AA:

A=128+32+38A = \sqrt{128} + \sqrt{32} + 3\sqrt{8}

نحلل الأعداد تحت الجذور كالتالي:

128=64×2128 = 64 \times 2
32=16×232 = 16 \times 2
8=4×28 = 4 \times 2

نعوض في العبارة:

A=64×2+16×2+34×2A = \sqrt{64 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 3\sqrt{4 \times 2}
A=82+42+3×22A = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 3 \times 2\sqrt{2}
A=82+42+62A = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}
A=(8+4+6)2A = (8 + 4 + 6)\sqrt{2}
A=182A = 18\sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:

العبارة AA مكتوبة على الشكل aba\sqrt{b} هي:

A=182A = 18\sqrt{2}

تبسيط العبارة BB:

B=275−33+147B = 2\sqrt{75} - 3\sqrt{3} + \sqrt{147}

نحلل الأعداد تحت الجذور كالتالي (بما أن لدينا الحد 333\sqrt{3}، سنحاول إظهار الرقم 3 تحت بقية الجذور):

75=25×375 = 25 \times 3
147=49×3147 = 49 \times 3

نعوض في العبارة:

B=225×3−33+49×3B = 2\sqrt{25 \times 3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{49 \times 3}
B=2×53−33+73B = 2 \times 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 7\sqrt{3}
B=103−33+73B = 10\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 7\sqrt{3}
B=(10−3+7)3B = (10 - 3 + 7)\sqrt{3}
B=143B = 14\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

العبارة BB مكتوبة على الشكل aba\sqrt{b} هي:

B=143B = 14\sqrt{3}

2) كتابة النسبية AB\frac{A}{B} على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

نعوض قيمتي AA و BB المبسطتين:

AB=182143\frac{A}{B} = \frac{18\sqrt{2}}{14\sqrt{3}}

نختزل الكسر العددي بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 و 14 وهو 2:

AB=9273\frac{A}{B} = \frac{9\sqrt{2}}{7\sqrt{3}}

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

AB=92×373×3\frac{A}{B} = \frac{9\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{7\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
AB=967×3\frac{A}{B} = \frac{9\sqrt{6}}{7 \times 3}
AB=9621\frac{A}{B} = \frac{9\sqrt{6}}{21}

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 3:

AB=367\frac{A}{B} = \frac{3\sqrt{6}}{7}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة النسبة بمقام ناطق هي:

AB=367\frac{A}{B} = \frac{3\sqrt{6}}{7}
📌

التمرين الثالث (07 نقاط)

1) تبيين نوع المثلثين ADBADB و AECAEC:

💡إضاءة وتنبيه:

تنص النظرية العكسية للدائرة المحيطة بمثلث على أنه: "إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به، فإن هذا المثلث قائم والضلع القطري هو وتره".

بالنسبة للمثلث ADBADB:
لدينا الضلع [AB][AB] هو قطر للدائرة الصغيرة (L′)(L').
النقطة DD تنتمي إلى الدائرة (L′)(L').
إذن، حسب خاصية الدائرة المحيطة بالمثلث، فإن المثلث ADBADB قائم في DD.
بالنسبة للمثلث AECAEC:
لدينا الضلع [AC][AC] هو قطر للدائرة الكبيرة (L)(L).
النقطة EE تنتمي إلى الدائرة (L)(L).
إذن، حسب خاصية الدائرة المحيطة بالمثلث، فإن المثلث AECAEC قائم في EE.
✅الإجابة النموذجية:
المثلث ADBADB قائم في DD.
المثلث AECAEC قائم في EE.

2) تحديد العلاقة بين المستقيمين (DB)(DB) و (EC)(EC) مع التبرير:

التبرير:
بما أن المثلث ADBADB قائم في DD، فإن المستقيم (DB)(DB) عمودي على المستقيم (AE)(AE) في النقطة DD. أي: (DB)⊥(AE)(DB) \perp (AE).
وبما أن المثلث AECAEC قائم في EE، فإن المستقيم (EC)(EC) عمودي على المستقيم (AE)(AE) في النقطة EE. أي: (EC)⊥(AE)(EC) \perp (AE).
وبما أن المستقيمين (DB)(DB) و (EC)(EC) عموديان على نفس المستقيم (AE)(AE)، فإنهما متوازيان.
✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان (DB)(DB) و (EC)(EC) متوازيان؛ أي: (DB)∥(EC)(DB) \parallel (EC).

3) الحسابات:

إذا علمت أن: AB=4 mAB = 4\text{ m}، AC=10 mAC = 10\text{ m}، AE=8 mAE = 8\text{ m}.

أ- تبيين أن EC=6 mEC = 6\text{ m}:

في المثلث AECAEC القائم في EE، نطبق نظرية فيثاغورس:

AC2=AE2+EC2AC^2 = AE^2 + EC^2

نعوض بالقيم المعلومة:

102=82+EC210^2 = 8^2 + EC^2
100=64+EC2100 = 64 + EC^2
EC2=100−64EC^2 = 100 - 64
EC2=36EC^2 = 36
EC=36EC = \sqrt{36}
EC=6 mEC = 6\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

لقد تم إثبات أن طول الضلع ECEC يساوي بالفعل 6 m6\text{ m}.

ب- حساب الطول DBDB:

بما أن:

النقطتين DD و BB تنتميان إلى المستقيمين (AE)(AE) و (AC)(AC) على الترتيب (النقاط A,D,EA, D, E في استقامية، والنقاط A,B,CA, B, C في استقامية).
المستقيمين (DB)(DB) و (EC)(EC) متوازيان (DB)∥(EC)(DB) \parallel (EC).

نطبق نظرية طاليس في المثلثين ADBADB و AECAEC:

ADAE=ABAC=DBEC\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC}

نأخذ النسبة التي تحتوي على المجهول DBDB والمعاليم الأخرى:

ABAC=DBEC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC}

نعوض بالقيم:

410=DB6\frac{4}{10} = \frac{DB}{6}

باستعمال الرابع المتناسب:

DB=4×610DB = \frac{4 \times 6}{10}
DB=2410DB = \frac{24}{10}
DB=2.4 mDB = 2.4\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

الطول DBDB يساوي 2.4 m2.4\text{ m}.