لحساب العدد $A$، يجب مراعاة أولويات العمليات الحسابية، حيث تُعطى الأولوية لعملية الضرب قبل عملية الجمع.

عند حساب عبارة تتضمن جمعاً وضرباً لكسور، نقوم أولاً بإجراء عملية الضرب (بضرب البسط في البسط والمقام في المقام)، ثم نقوم بتوحيد المقامات لإجراء عملية الجمع.

المقام المشترك الأصغر بين 6 و 12 هو 12. نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2:

نلاحظ أن الكسر قابل للاختزال بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام وهو 3:

القيمة الدقيقة والمبسطة للعدد $A$ هي:

لدينا العبارة:

إذن تصبح العبارة:

إذن:

الكتابة العلمية لعدد عشري تكتب على الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le a < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبي.

نقوم بحساب القيمة مباشرة:

نقوم بتعويض قيمتي $A$ و $B$ اللتين وجدناهما سابقاً:

نعوض في الطرف الأيسر للمساواة:

نحسب أولاً الكسر الثاني:

نعوض مجدداً:

نختزل العدد 4 من البسط والمقام:

وهو المطلوب إثباته.

المساواة محققة فعلاً لأن:

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 15، فإن:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 195 و 165 هو:

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر ($15$):

الكسر غير القابل للاختزال هو:

يريد بائع الأزهار تقسيم 195 وردة بيضاء و 165 وردة حمراء إلى باقات متماثلة تماماً من حيث عدد ونوع الورود.

أكبر عدد من الباقات يمثل القاسم المشترك الأكبر لعدد الورود البيضاء والحمراء لكي يتم استهلاك كل الورود دون متبقٍ وبأكبر عدد ممكن.

أكبر عدد من الباقات التي يمكن تشكيلها هو 15 باقة.

لمعرفة عدد الورود من كل نوع في الباقة الواحدة، نقسم العدد الإجمالي لكل نوع على عدد الباقات (15):

تتكون كل باقة من 13 وردة بيضاء و 11 وردة حمراء.

لدينا العبارة:

نلاحظ أن الحد الأخير يحتوي على $\sqrt{2}$، مما يوحي بأننا يجب أن نكتب الأعداد تحت الجذور الأخرى على شكل جذاء يكون أحد عامليه هو 2:

نعوض هذه القيم في العبارة $M$:

نستخرج $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $M$ على الشكل $a\sqrt{b}$ هي:

(حيث $a = 2$ و $b = 2$).

لدينا العبارة:

لجعل مقام هذا النسب عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

نوزع الضرب في البسط:

نقسم حدي البسط على 2 لتبسيط العبارة:

كتابة العدد $N$ بمقام ناطق في أبسط شكل هي:

نقوم بجمع العبارتين المبسطتين لـ $M$ و $N$:

نلاحظ وجود حدين متعاكسين في الإشارة ($2\sqrt{2}$ و $-2\sqrt{2}$)، مجموعهما يساوي الصفر:

بما أن العدد 3 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ($\mathbb{N}$)، فإن $M + N$ هو عدد طبيعي.

العدد $M + N$ هو عدد طبيعي لأن:

لحل هذه المعادلة، نضع المجهول في طرف والمعاليم في طرف آخر:

المعادلة من الشكل $x^2 = a$:

بما أن $9 > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

أو

للمعادلة حلان هما: