لحساب القاسم المشترك الأكبر ($PGCD$) لعددين طبيعيين، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأكثر سرعة ودقة. نواصل عملية القسمة الإقليدية حتى نحصل على باقٍ معدوم ($0$)، فيكون آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين.

نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $792$ و $550$:

بما أن الباقي الأخير هو $0$، فإن آخر باقٍ غير معدوم هو $22$.

القاسم المشترك الأكبر للعددين $550$ و $792$ هو:

لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر ($PGCD$). الكسر الناتج يكون مبسطاً إلى أقصى حد ممكن لأن بسطه ومقامه يصبحان عددين أوليين فيما بينهما.

نقسم بسط ومقام الكسر على $PGCD(792, 550) = 22$:

نحسب العمليات:

الكسر غير القابل للاختزال المساوي للكسر المعطى هو:

لحل معادلة من الشكل $x^2 = d$ حيث $d > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما: $x = \sqrt{d}$ و $x = -\sqrt{d}$.

لتسهيل الحساب، نعوض الكسر المعطى بالكسر غير القابل للاختزال الذي وجدناه في السؤال السابق.

نعوض الكسر بقيمته المختزلة في المعادلة:

بما أن $\frac{25}{36} > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

نطبق خواص الجذور التربيعية $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

للمعادلة حلان هما:

نعلم أن العبارة $L$ هي:

لحساب هذه العبارة، نتبع الخطوات التالية:

1. نعوض الكسر $\frac{550}{792}$ بالكسر المختزل $\frac{25}{36}$ لتسهيل حساب الجذر.

2. نحسب قيمة الجذر التربيعي.

3. نطبق أولوية العمليات الحسابية (الضرب له الأولوية قبل الجمع).

4. نجمع الكسرين الناتجين بعد توحيد المقامات إن لزم الأمر.

نعوض الكسر المختزل داخل الجذر:

نحسب الجزء الأول (الجذر التربيعي):

نحسب الجزء الثاني (جداء الكسرين مع الاختزال المباشر للعدد $5$ من البسط والمقام):

نعوض القيمتين في العبارة $L$:

نجمع الكسرين لهما نفس المقام:

لقد تم إثبات أن:

العبارة المعطاة هي:

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً على الشكل $a\sqrt{3}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $3$ لكتابتها على شكل جذاء يكون أحد عامليه مربعاً تاماً ($25$ و $9$)، ثم نطبق الخاصية $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$.

نحلل الأعداد تحت الجذور:

نعوض في العبارة $A$:

نخرج المربعات التامة من تحت الجذر ($\sqrt{25} = 5$ و $\sqrt{9} = 3$):

نأخذ $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $A$ على الشكل المطلوب هي:

العبارة المعطاة هي:

لجعل مقام كسر عدداً ناطقاً عندما يكون المقام عبارة عن جذر تربيعي منفرد $\sqrt{x}$، نضرب كلاً من البسط والمقام في هذا الجذر $\sqrt{x}$. يجب الانتباه لاستعمال الأقواس في البسط لتوزيع الضرب بشكل صحيح.

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

ننشر البسط ونبسط المقام مستعملين الخاصية $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$:

كتابة الكسر $B$ بمقام ناطق هي:

العبارة المعطاة هي:

نعوض قيمتي $A$ و $B$ المبسطتين اللتين وجدناهما سابقاً:

نعوض في العبارة $E$:

نختزل الأعداد المتشابهة في البسط والمقام لتسهيل الحساب:

تصبح العبارة:

نحذف الأقواس ونبسط الحدود المتشابهة ($\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$):

بما أن العدد $3$ هو عدد طبيعي لا يحتوي على فاصلة ولا إشارة سالبة ولا جذر:

لقد تم إثبات أن $E$ عدد طبيعي حيث: