لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}$ لعددين طبيعيين، يُفضل استخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية مقارنة بطريقة الطرح المتتالي.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $1775$ و $639$:

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو $71$، فإن:

لكتابة كسر على شكله غير القابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}$.

نقسم بسط ومقام الكسر على $71$:

الكسر $\frac{25}{9}$ هو كسر غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(25, 9) = 1$.

في العمليات على الكسور، تُعطى الأولوية لعملية الضرب قبل الطرح. ولتسهيل الحساب وتفادي التعامل مع أعداد كبيرة، نُعوّض الكسر $\frac{1775}{639}$ بكسره المختزل $\frac{25}{9}$.

أولاً: نقوم بعملية الضرب:

ثانياً: نعوض في العبارة $B$:

باستعمال الكسر المختزل $\frac{25}{9}$:

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين مباشرة:

إذن:

ليكن العدد $F$ حيث: $F = \sqrt{24} - 2\sqrt{54} + \sqrt{600}$

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً تربيعية على الشكل $a\sqrt{6}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $6$ لكتابتها على شكل جذاء حده الأول مربع تام والحد الثاني هو $6$.

بتطبيق الخاصية $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$:

باستخراج $\sqrt{6}$ كعامل مشترك:

ومنه: قيمة $a$ هي $6$ (وهو عدد طبيعي).

لإثبات صحة مساواة كسرين $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$، يمكننا استخدام جداء الطرفين في الوسطين وإثبات أن $A \times D = B \times C$، أو تبسيط كل طرف على حدة للوصول إلى نفس النتيجة.

الطريقة الأولى (باستخدام الجداء المتصالب):

نريد التحقق من أن:

نعلم أن $72 = 36 \times 2$، إذن:

بما أن الطرفين متساويان ($36\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$)، فإن المساواة محققة:

لحل معادلة من الشكل $\frac{X}{b} = \frac{c}{X}$، نطبق جداء الطرفين في الوسطين للحصول على معادلة من الدرجة الثانية من الشكل $X^2 = d$. إذا كان $d > 0$، فإن للمعادلة حلين هما $\sqrt{d}$ و $-\sqrt{d}$.

باستخدام الجداء المتصالب:

بما أن $6 > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

إذن قيم $X$ الممكنة هي: $\sqrt{6}$ و $-\sqrt{6}$.

لإثبات تعامد مستقيمين، يكفي إثبات أن المثلث $AHC$ قائم في $H$. نستخدم في هذه الحالة الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس على أطوال أضلاع المثلث $AHC$.

في المثلث $AHC$، لدينا الأطوال التالية:

نقارن مربع طول الضلع الأطول بمجموع مربعي الطولين الآخرين:

نلاحظ أن:

وحسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $AHC$ قائم في $H$.

وبما أن المثلث قائم في $H$، فإن المستقيمين $(AH)$ و $(HC)$ متعامدان.

وحيث أن النقطة $H$ تنتمي إلى القطعة المستقيمية $[BC]$، فإن المستقيمين $(AH)$ و $(BC)$ متعامدان:

بما أننا أثبتنا في السؤال السابق أن $(AH) \perp (BC)$، فإن المثلث $AHB$ هو مثلث قائم في $H$. هذا يسمح لنا بتطبيق نظرية فيثاغورس مباشرة لحساب طول الوتر $AB$.

لدينا المثلث $AHB$ قائم في $H$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في هذا المثلث:

بالتعويض بالأطوال المعطاة ($AH = 4$ و $HB = 8$):

ومنه:

لتبسيط الجذر التربيعي وكتابته على الشكل المطلوب:

وهو المطلوب إثباته.