يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. لمعرفة ما إذا كانا غير أوليين دون حساب القاسم المشترك الأكبر، يمكننا البحث عن قاسم مشترك ظاهر باستخدام قواعد قابلية القسمة.

العددان $1075$ و $430$ ليسا أوليين فيما بينهما.

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة للتعامل مع الأعداد الكبيرة في الامتحانات الرسمية.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $1075$ و $430$:

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $215$، فإن:

لاختزال كسر دفعة واحدة والحصول على كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $PGCD$.

نقسم بسط ومقام الكسر على $PGCD(1075, 430) = 215$:

الكسر غير القابل للاختزال هو $\frac{5}{2}$.

حيث:

لتسهيل الحساب وتجنب الأعداد الكبيرة، نعوض الكسر $\frac{1075}{430}$ بنتيجته المختزلة $\frac{5}{2}$ التي وجدناها في السؤال السابق. كما نراعي أولويات العمليات (القسمة تسبق الجمع).

نعوض الكسر غير القابل للاختزال في العبارة:

نختزل الكسر $\frac{6}{4}$ بقسمة البسط والمقام على $2$ ليصبح $\frac{3}{2}$:

لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

نختزل العدد $2$ من البسط والمقام في الحد الأول:

الآن نجمع الكسرين لهما نفس المقام:

وبما أن $2$ عدد طبيعي، فقد تم إثبات أن $H$ عدد طبيعي ($H = 2$).

حيث:

يكون العدد ناطقاً إذا أمكن كتابته على شكل كسر أو عدد صحيح (أي يتخلص من الجذر التربيعي تماماً). نستخدم خواص الجذور: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ و $\sqrt{a^2} = a$.

وبما أن $81$ هو مربع تام ($9^2 = 81$):

العدد $9$ هو عدد ناطق، إذن $A$ عدد ناطق.

نخرج $6^2$ من تحت الجذر لتصبح $6$، ونحلل العدد $45$ إلى $9 \times 5$:

نختزل $\sqrt{5}$ من البسط والمقام:

العدد $9$ هو عدد ناطق، إذن $B$ عدد ناطق.

حيث $a$ و $b$ عددان طبيعيان و $b$ أصغر ما يمكن:

نلاحظ وجود $\sqrt{7}$ في الحد الأخير، وهو عدد أولي لا يمكن تبسيطه أكثر. هذا يلمح لنا بأن نقسم الأعداد الأخرى تحت الجذور ($112$ و $28$) على $7$ للبحث عن مربعات تامة.

نقسم الأعداد تحت الجذور على $7$:

نعوض في العبارة $C$:

نستخرج $\sqrt{7}$ كعامل مشترك:

وهي من الشكل المطلوب حيث $a = 4$ و $b = 7$.

حيث:

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام. إذا كان البسط يحتوي على حدين، يجب استعمال الأقواس لتوزيع الضرب.

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$ (مع توزيع الضرب في البسط):

حيث:

نستخدم خاصية التوزيع بالتفصيل مع الانتباه التام للإشارات وقاعدة ضرب الجذور: $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$.

بتطبيق التوزيع:

نجمع الحدود المتشابهة (الأعداد معاً والجذور معاً):

المعادلة من الشكل $x^2 = a$:

بما أن $23 > 0$، فإن للمعادلة حلين متمايزين هما:

يجب أولاً عزل المجهول $x^2$ في طرف بمفرده قبل الحكم على عدد الحلول.

ننقل العدد $3$ إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته:

بما أن الطرف الأيمن عدد سالب ($-16 < 0$)، وبما أن مربع أي عدد حقيقي يجب أن يكون موجباً أو معدوماً، فإن هذه المعادلة ليس لها حل حقيقي.