الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته من الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le |a| < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبي.

لدينا العبارة:

نقوم بفصل الأعداد المعلومة عن قوى العدد 10 لتسهيل الحساب:

نحسب الجزء العددي:

نطبق قواعد الحساب على قوى العدد 10:

إذن:

الكتابة العلمية للعبارة $A$ هي:

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأدق:

(الباقي هو 88)

(الباقي هو 66)

(الباقي هو 22)

(الباقي هو 0)

بما أن آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات المتتالية هو 22، فإن:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 154 و 396 هو:

لدينا العبارة:

أولاً، نقوم باختزال الكسر $\frac{154}{396}$ بقسمة بسطه ومقامه على قاسمهما المشترك الأكبر الذي حسبناه سابقاً وهو 22:

نعوض الكسر المختزل في العبارة $B$:

أولوية العمليات تقتضي إجراء عملية القسمة أولاً. لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

الآن نقوم بعملية الطرح:

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين ونحتفظ بالمقام المشترك:

نختزل الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على 3:

كتابة العدد $B$ على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

لدينا العبارة:

نكتب الأعداد الموجودة تحت الجذور على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو 3:

نعوض هذه القيم في العبارة $C$:

نطبق الخاصية $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$:

بما أن: $\sqrt{16} = 4$ و $\sqrt{49} = 7$ و $\sqrt{100} = 10$، تصبح العبارة:

نستخرج $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

وهي من الشكل المطلوب حيث $a = -3$ وهو عدد نسبي صحيح.

كتابة العدد $C$ على الشكل $a\sqrt{3}$ هي:

لدينا النسبة:

قبل البدء في تنطيق المقام، نلاحظ أن البسط يحتوي على جذر شهير وهو $\sqrt{4}$. من الأفضل تبسيطه أولاً لتفادي الحسابات المعقدة، حيث أن $\sqrt{4} = 2$.

نبسط البسط أولاً:

تصبح النسبة:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

نقسم 9 على 3 لاختزال العبارة:

كتابة النسبة $D$ بمقام ناطق بعد التبسيط هي:

لدينا أطوال أضلاع المثلث $RST$ هي:

لتبيين أن المثلث قائم، نستخدم الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس. نقوم أولاً بحساب مربعات أطوال الأضلاع الثلاثة:

نحدد الضلع الأطول وهو $RS$ (لأن مربعه يساوي 52 وهو الأكبر).

نقارن مربع الضلع الأطول مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

وبما أن المساواة محققة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $RST$ قائم في النقطة $T$ (الرأس المقابل للوتر $RS$).

بما أن $ST^2 + RT^2 = RS^2$ فإن المثلث $RST$ قائم في $T$ حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس.

المعادلة من الشكل $x^2 = b$ تقبل:

ننشر وتبسط الطرف الأيسر:

ننقل المعاليم إلى طرف والمجاهيل إلى طرف:

نقسم الطرفين على $-3$:

بما أن $\frac{4}{3} > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

أو

حلول المعادلة $3(2 - x^2) = 2$ هي:

ننقل العدد 2 إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته:

نقسم الطرفين على 4:

بما أن $\frac{1}{4} > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

أو

حلول المعادلة $4x^2 + 2 = 3$ هي: