يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمها المشترك الأكبر يساوي $1$. لمعرفة ما إذا كانا غير أوليين دون حساب القاسم المشترك الأكبر، يمكننا البحث عن قاسم مشترك ظاهر وبسيط مثل قواعد قابلية القسمة على $2$، $5$، أو $10$.

العددان $1240$ و $680$ ليسا أوليين فيما بينهما.

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأدق للتعامل مع الأعداد الكبيرة في الامتحانات الرسمية.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات هو $40$، فإن:

لتسهيل الحساب وتجنب الأعداد الضخمة، نقوم أولاً باختزال الكسر $\frac{1240}{680}$ بقسمة بسطه ومقامه على قاسمهما المشترك الأكبر الذي وجدناه في السؤال السابق وهو $40$.

المقام المشترك هو $34$ لأن $34 = 17 \times 2$.

إذن:

وبما أن العدد $89$ عدد أولي، فإن الكسر $\frac{89}{34}$ غير قابل للاختزال.

لحل معادلة من هذا الشكل، نستخدم خاصية الجداء المتصالب (الوسطين في الطرفين) لتصبح المعادلة من الشكل $x^2 = b$.

باستخدام الجداء المتصالب:

نعلم أن $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$، إذن:

بما أن $16 > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

إذن للمعادلة حلان هما: $x = 4$ و $x = -4$.

لحساب الجذور المتداخلة، نبدأ دائماً بتبسيط الجذر الداخلي الأعمق ثم نتدرج نحو الخارج خطوة بخطوة.

وبما أن $4$ عدد طبيعي، فقد تم إثبات أن $A$ عدد طبيعي.

نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على $7$ للحصول على مربعات تامة تسهل عملية التبسيط.

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذور بدلالة $7$:

نعوض هذه القيم في العبارة $B$:

نخرج المربعات التامة من تحت الجذر:

نأخذ $\sqrt{7}$ كعامل مشترك:

وهي من الشكل المطلوب حيث $a = 9$ (وهو عدد طبيعي).

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في جذر المقام وهو $\sqrt{7}$، مع ضرورة استخدام الأقواس في البسط لتوزيع الضرب بشكل صحيح.

بتوزيع الضرب في البسط:

لإثبات التوازي في وضعية الفراشة (طاليس)، نستخدم النظرية العكسية لنظرية طاليس. يجب التحقق من تساوي النسبتين وترتيب النقاط على الاستقامة.

لدينا المستقيمان $(AD)$ و $(BE)$ يتقاطعان في النقطة $C$.

نقارن النسبتين $\frac{CD}{CA}$ و $\frac{CE}{CB}$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $D, C, A$ والنقط $E, C, B$ مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه وحسب النظرية العكسية لنظرية طاليس فإن المستقيمين متوازيان:

بما أن التوازي قد أُثبت في السؤال السابق، يمكننا الآن تطبيق نظرية طاليس المباشرة لحساب الطول المجهول.

بما أن المستقيمين $(AB)$ و $(DE)$ متوازيان، فإنه بتطبيق نظرية طاليس نجد:

بالتعويض بالقيم المعلومة:

باستعمال الجداء المتصالب:

لإثبات أن مثلثاً قائم المعالم وعلمت أطوال أضلاعه الثلاثة، نستخدم النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس.

أطوال أضلاع المثلث $CED$ هي:

الضلع الأطول هو $DE = 13 \text{ cm}$.

نلاحظ أن:

وحسب النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $CED$ قائم في النقطة $E$ (حيث الوتر هو $DE$).