📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 99 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (6 نقاط)

1/ كتابة EE على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا العبارة:

E=23+73÷145E = \frac{2}{3} + \frac{7}{3} \div \frac{14}{5}
💡إضاءة وتنبيه:
في حساب عبارة تتضمن عمليات متعددة على الكسور، تُعطى الأولوية لعملية القسمة قبل عملية الجمع. لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.
أولاً: إجراء عملية القسمة
73÷145=73×514\frac{7}{3} \div \frac{14}{5} = \frac{7}{3} \times \frac{5}{14}
=7×53×14= \frac{7 \times 5}{3 \times 14}
=3542= \frac{35}{42}

نقوم باختزال هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو 77:

35÷742÷7=56\frac{35 \div 7}{42 \div 7} = \frac{5}{6}
ثانياً: إجراء عملية الجمع

نعوض النتيجة في العبارة EE:

E=23+56E = \frac{2}{3} + \frac{5}{6}

لتوحيد المقامات، نلاحظ أن المقام المشترك هو 66:

23=2×23×2=46\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}
E=46+56E = \frac{4}{6} + \frac{5}{6}
E=4+56=96E = \frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}
ثالثاً: اختزال الكسر الناتج

نقسم البسط والمقام على 33:

E=9÷36÷3=32E = \frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال للعبارة EE هو:

E=32E = \frac{3}{2}

2/ كتابة FF على الشكل a3+ba\sqrt{3} + b

لدينا العبارة:

F=75−3(2+3)F = \sqrt{75} - 3(2 + \sqrt{3})
💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط الجذور، نكتب العدد تحت الجذر على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام. ولتبسيط العبارة ككل، نقوم بنشر وتبسيط الجذاء باستعمال خاصية التوزيع.
تبسيط الحد الأول 75\sqrt{75}:
75=25×3=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}
نشر وتبسيط الحد الثاني −3(2+3)-3(2 + \sqrt{3}):
−3(2+3)=−3×2−3×3=−6−33-3(2 + \sqrt{3}) = -3 \times 2 - 3 \times \sqrt{3} = -6 - 3\sqrt{3}
تجميع وتبسيط العبارة كاملة:
F=53−6−33F = 5\sqrt{3} - 6 - 3\sqrt{3}
F=(5−3)3−6F = (5 - 3)\sqrt{3} - 6
F=23−6F = 2\sqrt{3} - 6
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العبارة FF على الشكل المطلوب هي:

F=23−6F = 2\sqrt{3} - 6

حيث: a=2a = 2 و b=−6b = -6 وهما عددان نسبيان.

3/ حل المعادلة: 9x2−4=09x^2 - 4 = 0 (أو 4−9x2=04 - 9x^2 = 0)

لدينا المعادلة:

9x2−4=09x^2 - 4 = 0

نقوم بنقل الطرف المعلوم إلى الجهة الأخرى:

9x2=49x^2 = 4
x2=49x^2 = \frac{4}{9}
💡إضاءة وتنبيه:
المعادلة من الشكل x2=dx^2 = d حيث d>0d > 0 تقبل حلين متمايزين هما d\sqrt{d} و −d-\sqrt{d}.

بما أن 49>0\frac{4}{9} > 0، فإن المعادلة تقبل حلين هما:

x=49=49=23x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}

أو:

x=−49=−49=−23x = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = -\frac{2}{3}
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما:

x=23وx=−23x = \frac{2}{3} \quad \text{و} \quad x = -\frac{2}{3}
📌

التمرين الثاني: (7 نقاط)

1/ حساب وتبسيط AA واستنتاج تبسيط لـ 67+16\sqrt{6\sqrt{7} + 16}

حساب وتبسيط AA:

لدينا:

A=(3+7)2A = (3 + \sqrt{7})^2

نطبق المتطابقة الشهيرة الأولى (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

A=32+2×3×7+(7)2A = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2
A=9+67+7A = 9 + 6\sqrt{7} + 7
A=(9+7)+67A = (9 + 7) + 6\sqrt{7}
A=16+67A = 16 + 6\sqrt{7}
✅الإجابة النموذجية:

تبسيط العبارة AA هو:

A=16+67A = 16 + 6\sqrt{7}
استنتاج تبسيط لـ 67+16\sqrt{6\sqrt{7} + 16}:

بما أن:

16+67=(3+7)216 + 6\sqrt{7} = (3 + \sqrt{7})^2

فإن:

16+67=(3+7)2\sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 + \sqrt{7})^2}

وبما أن العدد 3+73 + \sqrt{7} موجب تماماً، فإن الجذر التربيعي يلغي المربع مباشرة:

(3+7)2=3+7\sqrt{(3 + \sqrt{7})^2} = 3 + \sqrt{7}
✅الإجابة النموذجية:

التبسيط المستنتج هو:

67+16=3+7\sqrt{6\sqrt{7} + 16} = 3 + \sqrt{7}

2/ تبيان أن BB عدد طبيعي

لدينا العبارة:

B=67+16−7B = \sqrt{6\sqrt{7} + 16} - \sqrt{7}

نعوض التبسيط المستنتج في السؤال السابق في العبارة BB:

B=(3+7)−7B = (3 + \sqrt{7}) - \sqrt{7}
B=3+7−7B = 3 + \sqrt{7} - \sqrt{7}
B=3B = 3
✅الإجابة النموذجية:

بما أن النتيجة هي B=3B = 3 وهو عدد موجب وبدون فاصلة، فإن BB هو بالفعل عدد طبيعي.

3/ حساب CC وكتابته على شكل aba\sqrt{b}

لدينا العبارة:

C=92−3+232C = \frac{9\sqrt{2}}{-\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
💡إضاءة وتنبيه:
لتسهيل الحساب، نقوم أولاً بجعل مقامي النسبتين عددين ناطقين بضرب بسط ومقام كل نسبة في جذر مقامها.
تنطيق مقام النسبة الأولى:
92−3=92×3−3×3=96−3=−36\frac{9\sqrt{2}}{-\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{-\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{-3} = -3\sqrt{6}
تنطيق مقام النسبة الثانية:
232=23×22×2=262=6\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}
جمع النسبتين المبنّطتين:
C=−36+6C = -3\sqrt{6} + \sqrt{6}
C=(−3+1)6C = (-3 + 1)\sqrt{6}
C=−26C = -2\sqrt{6}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العبارة CC على الشكل المطلوب هي:

C=−26C = -2\sqrt{6}

حيث: a=−2a = -2 (عدد نسبي) و b=6b = 6 (أصغر عدد طبيعي ممكن تحت الجذر).

📌

التمرين الثالث: (7 نقاط)

1/ إثبات أن المثلث ABDABD قائم في DD

المعطيات المتوفرة:
طول الضلع AB=15 cmAB = 15\text{ cm}
طول الضلع AD=9 cmAD = 9\text{ cm}
من التشفير على الشكل، نلاحظ أن الضلع BDBD يحمل نفس علامة التشفير للضلع AMAM، أي أن:
BD=AM=12 cmBD = AM = 12\text{ cm}
تطبيق الخاصية العكسية لفيثاغورس:

نحسب مربع طول الضلع الأطول (الوتر المفترض):

AB2=152=225AB^2 = 15^2 = 225

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

AD2+BD2=92+122AD^2 + BD^2 = 9^2 + 12^2
AD2+BD2=81+144=225AD^2 + BD^2 = 81 + 144 = 225

نلاحظ أن:

AB2=AD2+BD2AB^2 = AD^2 + BD^2
✅الإجابة النموذجية:

بما أن المساواة AB2=AD2+BD2AB^2 = AD^2 + BD^2 محققة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث ABDABD قائم في الرأس DD.

2/ التحقق مما إذا كان المستقيمان (BD)(BD) و (MF)(MF) متوازيين

التحقق من استقامية وترتيب النقاط:

النقاط F,A,DF, A, D في استقامية وبهذا الترتيب، والنقاط M,A,BM, A, B في استقامية وبهذا الترتيب نفسه.

مقارنة النسبتين:

نحسب النسبة الأولى:

AFAD=7.29=0.8\frac{AF}{AD} = \frac{7.2}{9} = 0.8

نحسب النسبة الثانية:

AMAB=1215=0.8\frac{AM}{AB} = \frac{12}{15} = 0.8

نلاحظ أن النسبتين متساويتان:

AFAD=AMAB=0.8\frac{AF}{AD} = \frac{AM}{AB} = 0.8
✅الإجابة النموذجية:

بما أن النسبتين متساويتان (AFAD=AMAB)\left(\frac{AF}{AD} = \frac{AM}{AB}\right) والنقاط مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتقاطعين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لطاليس، فإن المستقيمين متوازيان:

(BD)//(MF)(BD) // (MF)

3/ حساب الطول FMFM

بما أن المستقيمين (BD)(BD) و (MF)(MF) متوازيان، يمكننا تطبيق خاصية طاليس على المثلثين المتقابلين بالرأس عند AA:

AFAD=AMAB=FMBD\frac{AF}{AD} = \frac{AM}{AB} = \frac{FM}{BD}

نعوض بالقيم المعلومة:

0.8=FM120.8 = \frac{FM}{12}

ومنه نستخرج الطول FMFM:

FM=12×0.8FM = 12 \times 0.8
FM=9.6 cmFM = 9.6\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

طول القطعة FMFM هو:

FM=9.6 cmFM = 9.6\text{ cm}

4/ حساب الطول DCDC (مع إعطاء المدور إلى الوحدة)

تحديد طبيعة المثلث BDCBDC:

بما أن النقاط A,D,CA, D, C على استقامة واحدة، وبما أن المثلث ABDABD قائم في DD (أي أن الزاوية ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ)، فإن الزاوية المجاورة لها ∠BDC\angle BDC هي أيضاً قائمة (180∘−90∘=90∘180^\circ - 90^\circ = 90^\circ).

إذن، المثلث BDCBDC قائم في DD.

استخدام النسب المثلثية في المثلث القائم BDCBDC:

لدينا:

الزاوية الحادة ∠BCD=50∘\angle BCD = 50^\circ
الضلع المقابل للزاوية هو BD=12 cmBD = 12\text{ cm}
الضلع المجاور المطلوب حسابه هو DCDC

نستخدم قانون ظل الزاوية (Tangent):

tan⁡(∠BCD)=الضلع المقابلالضلع المجاور\tan(\angle BCD) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}
tan⁡(50∘)=BDDC\tan(50^\circ) = \frac{BD}{DC}
tan⁡(50∘)=12DC\tan(50^\circ) = \frac{12}{DC}

ومنه:

DC=12tan⁡(50∘)DC = \frac{12}{\tan(50^\circ)}

باستعمال الآلة الحاسبة نجد:

tan⁡(50∘)≈1.19175\tan(50^\circ) \approx 1.19175
DC≈121.19175≈10.069 cmDC \approx \frac{12}{1.19175} \approx 10.069\text{ cm}
تدوير النتيجة إلى الوحدة:

بما أن الجزء من عشرة (الرقم الأول بعد الفاصلة) هو 00 وهو أصغر من 55:

✅الإجابة النموذجية:

طول الضلع DCDC بالتدوير إلى الوحدة هو:

DC≈10 cmDC \approx 10\text{ cm}